Коммутирует ли оператор рождения/уничтожения со спинорами?

Я занимаюсь самостоятельным изучением КТП и подошёл к квантованию поля Дирака. Поле Дирака, расширенное с точки зрения операторов рождения/уничтожения:

$$\psi(\vec{x})=\sum_{s=1}^{2}\int{\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\vec{p}}}}\left(b_{\vec{p}}^su^s(\vec{p})e^{i\vec{p}\vec{x}}+c_{\vec{p}}^{s\dagger}\upsilon^s(\vec{p})e^{-i\vec{p}\vec{x}}\right)}$$

Затем записи, которые я изучаю, предполагают, что:

$$\psi^\dagger(\vec{x})=\sum_{s=1}^{2}\int{\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\vec{p}}}}\left(b_{\vec{p}}^{s\dagger}u^{s\dagger}(\vec{p})e^{-i\vec{p}\vec{x}}+c_{\vec{p}}^s\upsilon^{s\dagger}(\vec{p})e^{i\vec{p}\vec{x}}\right)}$$

Похоже, что оператор рождения/уничтожения коммутирует со спинорами, так что, например,

$$(b_{\vec{p}}^{s}u^{s}(\vec{p}))^{\dagger}=u^{s\dagger}(\vec{p})b_{\vec{p}}^{s\dagger}=b_{\vec{p}}^{s\dagger}u^{s\dagger}(\vec{p}).$$

Происходит ли это потому, что операторы рождения и уничтожения действуют на состояния$|p\rangle$, а не на спинорах?