БПФ с разделенным шагом: свободное развитие волны приводит к ее распространению

Question

БПФ с разделенным шагом: свободное развитие волны приводит к ее распространению

Физика
преобразование Фурье
квантовая механика
вычислительная физика
уравнение Шредингера

Тьяго Мело

Есть ли «квантовый» смысл в том, что волна распространяется, развиваясь во времени?

Например, мы используем волну типа:

$\Psi(x,0) = \frac{1}{\sqrt[4]{2 \pi {\Delta x}^ 2}} \exp \left( i k_0 x - \frac{(x-x_0)^ 2}{4 {\Delta x}^ 2} \right)$

где $k_0$ насколько я понимаю, это прокси для волновой энергии (для свободной частицы):

$E_0 = \frac{k_0^2 \hbar^2}{2m}$

Затем мы используем сплит-шаг и БПФ для его распространения во времени:

$\Psi(x,t+\Delta t) \approx \exp(-\frac{i \hat{V}(x) \Delta t}{2 \hbar}) \exp(-\frac{i \hat{K} \Delta t}{\hbar}) \exp(-\frac{i \hat{V}(x) \Delta t}{2 \hbar}) \Psi(x,t)$

Мы подходим к этому следующим образом:

$\eta(x) = \exp(-\frac{i \hat{V}(x) \Delta t}{2 \hbar}) \Psi(x,t)$
$\xi(k) = \exp(-\frac{i (2 \pi k)^ 2 \hbar \Delta t}{2m}) \mathscr{F} (\eta(x))$
$\Psi(x,t+\Delta t) \approx \exp(-\frac{i \hat{V}(x) \Delta t}{2 \hbar}) \mathscr{F}^{-1} (\xi(k))$

Шаги 1-3 повторяются много раз для небольших временных шагов, обычно $\Delta t \approx 1\times 10^{-18} s$

Мы наблюдаем, что волна распространяется, как:

Прошу прощения за плохие изображения, надеюсь их можно понять.

Но дело в том, что даже волны, распространяющиеся без потенциалов, или волны с очень высокими энергиями, всегда ведут себя так.

Кроме того, когда мы пытаемся смоделировать твердотельные устройства, мы используем приближение эффективной массы, и это заставляет волну сохраняться немного дольше.

Конечно, возможно, я делаю что-то не так.

Селена Рутли

Я поддерживаю ответ Космоса и могу засвидетельствовать, что это именно то поведение, которое можно увидеть в SSFFT. Если вы не уверены, вы можете собрать версию SSFFT в несколько строк в Mathematica или чем-то подобном. Это может дать вам уверенность, что все в порядке. Но если ваше БПФ работает, вероятность ошибки в коде мала: помните, разделение операторов — это очень простой и аккуратный алгоритм. Я не совсем уверен в

2 π

$2\pi$ коэффициент на шаге 2; Я делаю это, чтобы быть

\exp (- \frac{i k^{2} ℏ Δ t}{2 m})

$\exp\left(-\frac{i \,k^ 2 \,\hbar \Delta t}{2m}\right)$ .

Селена Рутли

Проверьте это, но ошибка в этом направлении просто изменит вашу шкалу энергии, а не фундаментальное поведение (например, изменение единиц измерения для

V

$V$ ).

Тьяго Мело

Род Вэнс, спасибо за ваш комментарий. Я действительно не был уверен в результатах, очень приятно знать, что это что-то нормальное и имеет какое-то значение. Ну, о

2 π

$2 \pi$ это одна вещь, которую я нашел в учебнике по математике, никогда не проверял на честность, но я буду, еще раз спасибо. ssfft, спасибо за упоминание, я попробую, кажется, это намного быстрее.

Ответы (1)

БПФ с разделенным шагом: свободное развитие волны приводит к ее распространению

Я поддерживаю ответ Космоса и могу засвидетельствовать, что это именно то поведение, которое можно увидеть в SSFFT. Если вы не уверены, вы можете собрать версию SSFFT в несколько строк в Mathematica или чем-то подобном. Это может дать вам уверенность, что все в порядке. Но если ваше БПФ работает, вероятность ошибки в коде мала: помните, разделение операторов — это очень простой и аккуратный алгоритм. Я не совсем уверен в $2\pi$ коэффициент на шаге 2; Я делаю это, чтобы быть $\exp\left(-\frac{i \,k^ 2 \,\hbar \Delta t}{2m}\right)$ .
Проверьте это, но ошибка в этом направлении просто изменит вашу шкалу энергии, а не фундаментальное поведение (например, изменение единиц измерения для $V$ ).
Род Вэнс, спасибо за ваш комментарий. Я действительно не был уверен в результатах, очень приятно знать, что это что-то нормальное и имеет какое-то значение. Ну, о $2 \pi$ это одна вещь, которую я нашел в учебнике по математике, никогда не проверял на честность, но я буду, еще раз спасибо. ssfft, спасибо за упоминание, я попробую, кажется, это намного быстрее.

Космас Захос · Answer 1

Да, решения дисперсионного уравнения Шредингера со свободным волновым пакетом почти всегда (*) распространяются таким образом, независимо от вашей групповой скорости $k_0$ волнового пакета. Если вы установите для него значение 0, они все равно будут распространяться вот так, на месте. Это сердце квантовой механики.

Интуитивная причина состоит в том, что начальная ширина распространяется на

\sqrt{\frac{а^{2} + (ℏ т / м)^{2}}{а}},

$\sqrt{a^2 + (\hbar t/m)^2 \over a}~,$ так что в конечном итоге (очень быстро, на практике) он растет линейно во времени, как

ℏ t / (m \sqrt{a})

$\hbar t/(m\sqrt{a})$ . Почему?

Этот линейный рост является отражением (неизменной во времени) неопределенности импульса: волновой пакет сначала ограничивается узкой областью $Δx\sim \sqrt{a/2}$ , и поэтому имеет импульс, который является неопределенным (в соответствии с принципом неопределенности ) на величину $\Delta p\sim\hbar/\sqrt{2a}$ ; таким образом, разброс скоростей $\hbar /m\sqrt{2a}$ ; и, таким образом, в последующем положении на $\Delta x \sim \hbar t/m\sqrt{2a}$ .

Тогда отношение неопределенностей представляет собой строгое неравенство, очень далекое от насыщения. Начальная неопределенность ΔxΔp=ħ/2 теперь увеличилась в ħt/ma раз для больших t . Таким образом, это рассматривается как общее свойство анализа Фурье.

(*) Почти всегда : иногда (редко) введение членов взаимодействия в дисперсионные уравнения, например, для потенциала квантового гармонического осциллятора, может привести к появлению недисперсионных, классически выглядящих решений (когерентных состояний ) . Они не растекаются, как классические объекты! Такие «состояния минимальной неопределенности» постоянно насыщают принцип неопределенности. Также обратите внимание на своеобразный волновой шлейф Эйри .

Космас, спасибо за ответ, мне очень приятно. Об этих терминах, которые мы могли бы ввести в форму волны, это сделало бы ее похожей на когерентное состояние. Не могли бы вы указать мне какое-либо направление, чтобы найти, как это сделать? Спасибо за ответ.
Кроме того, спасибо за ссылки, я наслаждаюсь ими.

БПФ с разделенным шагом: свободное развитие волны приводит к ее распространению

Тьяго Мело

Селена Рутли

Селена Рутли

Тьяго Мело

Ответы (1)

Космас Захос

Тьяго Мело

Тьяго Мело

Задача на собственные значения для дифференциальных уравнений в КМ

Полюса для частицы, рассеянной в дельта-потенциале

Начальное условие для преобразования Фурье уравнения Шрёдингера

Нахождение ψ(x,t)ψ(x,t)\psi(x,t) для свободной частицы, начиная с профиля гауссовой волны ψ(x)ψ(x)\psi(x)

Дельта-функция Дирака как начальное состояние квантово-свободной частицы

Сдвиг импульса на константу в уравнении Шрёдингера

Уравнение Шредингера в импульсном пространстве в обозначениях Дирака

Почему волновая функция импульсного пространства для свободной частицы не является функцией времени?

Численное решение простого уравнения Шрёдингера с помощью быстрых преобразований Фурье

Решение уравнения Шредингера для свободной частицы с преобразованиями Фурье