Я хочу спросить, разумно ли использовать функцию Дирака-Дельта в качестве начального состояния ( ) для волновой функции свободной частицы и интерпретировать ее так, что я говорю, что частица находится точно в точке x=0 в течение времени t=0? Если я использую это начальное состояние, могу ли я также использовать его, чтобы предсказать, как должна развиваться волновая функция во времени? То есть, если , тогда,
Является ли приведенная выше волновая функция допустимым выражением, чтобы увидеть, как частица, изначально локализованная в начале координат, эволюционирует во времени?
Именно так вы бы и поступили. Обратите внимание, однако, что ничто не гарантирует, что решение будет разумным или что интеграл вообще существует. На самом деле, поскольку уравнение Шрёдингера в значительной степени обратимо во времени, вы гарантированно не окажетесь в физическом состоянии.
Следует отметить, что частота является функцией волнового вектора через дисперсионное соотношение, которое, по сути, кодирует уравнение Шредингера, как . Это означает, что государство
Это состояние, конечно, не физическое, т. , но это ожидаемо. Что удивительно, так это то, что амплитуда отлична от нуля и постоянна для всего пространства, каким бы малым оно ни было. есть, но опять же этого следовало ожидать, так как содержит компонент при каждом импульсе, каким бы высоким он ни был. Эта функция выглядит следующим образом:
Обратите внимание, что высокочастотные компоненты все дальше удаляются от начала координат. Это разумно, поскольку эти более высокие импульсы движутся быстрее.
Теперь реальный вопрос заключается в том, действительно ли эта функция является решением уравнения Шредингера. Оно было получено стандартной процедурой в надежде, что оно сработает, и действительно, если какое-либо решение действительно сработает, мы ожидаем, что оно будет таким. Однако это оставляет открытым вопрос о том,
Рассмотрим эволюцию гауссового волнового пакета . Его волновая функция в позиционном представлении выглядит так:
Соответствующая относительная плотность вероятности равна
или, пренебрегая общим коэффициентом, зависящим от времени и независимым от положения,
Вы получаете дельта-подобную волновую функцию Дирака из исходного гауссова, когда берете предел . Но для любого конечного предел является
т.е. в любое конечное время с момента начала эволюции ваше положение будет совершенно неопределенным. Итак, теперь ничто на самом деле больше не определено — будь то импульс или положение, поэтому попытки найти эволюцию такого состояния в значительной степени бесполезны: вы не можете ничего предсказать, исходя из вашего конечного состояния.
Я хочу спросить, разумно ли использовать функцию Дирака-Дельта в качестве начального состояния ( ) для волновой функции свободной частицы и интерпретировать ее так, что я говорю, что частица находится точно в во время ?
Нет, потому что дельта-функция не согласуется с интерпретацией функции Борна. . Развивающаяся функция, которая является дельта-функцией в вовремя не даст вам регулярную волновую функцию, но даст вам пропагатор зависящего от времени уравнения Шредингера. Это можно использовать для выражения регулярной волновой функции во времени как интеграл волновой функции в некоторый предыдущий момент времени . См. раздел «Свободный распространитель частиц» по адресу http://physwiki.ucdavis.edu/Quantum_Mechanics/1-D_Quantum_Mechanics/Time-Dependent_Solutions%3a_Propagators_and_Representations .
алими
Джон Ренни
Куроме