Бусинка с трением скользит по гибкой проволоке [закрыто]

Question

Бусинка с трением скользит по гибкой проволоке [закрыто]

кевинкаякс

Постановка задачи:

Я хотел бы смоделировать следующую конфигурацию:

Здесь шарик массы $m$ скользит по проволоке под напряжением. Провод имеет плотность $\rho$ . Бусинка испытывает трение пропорционально своей скорости. $v$ вдоль провода. Я хотел бы описать скорость шарика во времени.

Большой предел натяжения:

Если натяжение в проволоке очень велико, динамика шарика будет отделена от динамики провода, и движение шарика будет таким же, как у бруска на плоскости с трением, зависящим от скорости (по предположению, не кулоновское трение). ). В координатах по проводу,

м \dot{в} "=" - γ в + м г грех θ,

$m \dot{v} = - \gamma v + mg \sin\theta,$ поэтому скорость приближается

m g / γ \sin θ

$mg/\gamma\sin\theta$ :

в (т) "=" в_{0} е^{- γ т / м} + \frac{м г грех θ}{γ} (1 - е^{- γ т / м}) .

$v(t) = v_0 e^{-\gamma t/m} + \frac{m g \sin\theta}{\gamma}(1-e^{-\gamma t/m}).$

Умеренное напряжение:

Когда напряжение не слишком превышает $mg$ , проволока будет деформирована массой, поэтому она больше не будет скользить по прямой линии. Здесь проблема становится сложной, и у меня возникают проблемы с настройкой основных уравнений. Я считаю, что уравнение провода что-то вроде

р \frac{\partial^{2} ψ}{\partial т^{2}} "=" Т \frac{\partial^{2} ψ}{\partial {Икс}^{2}} + р г + м г дельта (Икс - {Икс}_{п} (т))

$\rho \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = T \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} +\rho g + m g \delta(x-x_p(t))$

Однако координаты частиц теперь очень сложно описать. Я считаю, что наиболее удобным способом было бы описать их в координатах, определяемых формой проволоки, имитируя большой предел натяжения, но мне не ясно, как именно это сделать.

Если бы кто-нибудь мог предложить какое-либо руководство относительно того, правильно ли мое уравнение для струны и как составить уравнения движения для частицы, я был бы очень признателен!

Редактировать:

В отсутствие трения лагранжиан для частицы равен

л "=" \frac{м}{2} ({\dot{Икс}}^{2} [1 + ψ_{Икс}^{2}] + 2 \dot{Икс} ψ_{Икс} ψ_{т} + ψ_{т}^{2}) - м г ψ (Икс, т) .

$\mathcal{L} = \frac{m}{2}\Big(\dot{x}^2\big[1+\psi_x^2\big]+2\dot{x}\psi_x \psi_t + \psi_t^2 \Big) - m g \psi(x,t).$ Это дает следующее уравнение движения для частицы, связанной струной (хотя могут быть небольшие ошибки):

\ddot{Икс} [1 + ψ_{Икс}^{2}] + 2 \dot{Икс} (ψ_{Икс} [ψ_{Икс} \dot{Икс} + ψ_{т}] + ψ_{т} [ψ_{Икс Икс} \dot{Икс} + ψ_{Икс т}] + ψ_{Икс} [ψ_{Икс т} \dot{Икс} + ψ_{т т}]) "=" ψ_{Икс} {\dot{Икс}}^{2} + \dot{Икс} [ψ_{Икс Икс} ψ_{т} + ψ_{Икс} ψ_{Икс т}] + ψ_{т} ψ_{Икс Икс} - г ψ_{Икс} .

$\ddot{x}[1+\psi_x^2] + 2 \dot{x}\big(\psi_x[\psi_x \dot{x} + \psi_t] + \psi_t[\psi_{xx}\dot{x}+\psi_{xt}] + \psi_x[\psi_{xt}\dot{x}+\psi_{tt}]\big) = \psi_x \dot{x}^2 + \dot{x}[\psi_{xx}\psi_t + \psi_x \psi_{xt}] + \psi_t \psi_{xx} - g\psi_x.$ Это должно быть решено в сочетании с приведенным выше уравнением ведомой волны, чтобы описать динамику. Может быть, можно пренебречь некоторыми членами для малых перемещений, чтобы получить приближенное решение?

Джон Хантер

Вы уверены, что первая формула подходит? Член трения для чего-то, скользящего по плоскости, обычно не зависит от скорости...

кевинкаякс

Да, это просто сопротивление, зависящее от скорости, а не кулоновское трение. Я искал динамику с предельной скоростью. Несмотря на это, было бы достаточно легко изменить задачу позже, если бы я был уверен, как сформулировать динамику частиц.

гс

Я бы предложил найти y = f(x), а затем использовать закон сохранения энергии, где изменение гравитационной потенциальной энергии должно равняться работе трения плюс изменение кинетической энергии. Я согласен с Джоном Хантером в том, что сила трения, вероятно, не должна зависеть от скорости.

кевинкаякс

Нет ничего плохого в том, что сила сопротивления зависит от скорости. Он предназначен для представления того факта, что сопротивление на самом деле связано с тем, что бусина «выпрямляет» веревку, когда проходит по ней. Это не блок в самолете. Сохранение энергии кажется хорошим подходом, хотя и не простым, поскольку нужно интегрировать по струне, форма которой неизвестна и меняется.

гс

Я могу ошибаться, но я думаю, что вы можете начать с предположения, что случай T = 0 имеет ту же кривую y = f (x), что и случай T> 0. Затем, когда у вас есть y = f (x), у вас есть

m g Δ y = E (x) = T (x) + \int F_{f r i c t i o n} (x) d x

$mg\Delta y = E(x) = T(x)+\int F_{friction}(x) dx$ . Найдите Т(х). Затем

v (x) = d x / d t = \sqrt{2 T (x) / m}

$v(x) = dx/dt = \sqrt{2T(x)/m}$ . Интегрировать обе стороны

d t = d x / v

$dt=dx/v$ чтобы получить t = f(x), найдите x=f(t), возьмите производную, чтобы получить

d x / d t = f^{'} (t)

$dx/dt = f'(t)$

гс

последнее, конечно, применить y=f(x), чтобы получить dy/dt для остальной части вектора скорости.

гс

подождите, нет, на самом деле

v (x) = \sqrt{(d x / d t)^{2} + (d y / d t)^{2}}

$v(x) = \sqrt {(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2}$ . Но поскольку вы знаете, что y=f(x), вы должны, по крайней мере, получить v(x) = f(dx/dt) и работать оттуда.

итлу

@gs Строковая функция

y = f (x)

$y=f(x)$ также изменяется по мере проскальзывания борта:

y (x, t) = ψ (x, t)

$y(x, t)=\psi(x,t)$ , определено в тексте.

гс

@ytlu Я имел в виду, что (x, y) - это положение шарика, а не конфигурация струны.

итлу

@г

m g Δ y \neq T (x) + . .

$mg\Delta y \ne T(x) + ..$ и нет никакого способа узнать

y (x, t) = f (x (t))

$y(x,t) = f(x(t))$ .

итлу

Когда бусина скользит вниз, может ли она генерировать волну, распространяющуюся вдоль струны? или просто считать изгиб в положении бусины?

кевинкаякс

точно @ytlu, да, может. Нужно решить ньютоновскую динамику шарика в сочетании с уравнением ведомой волны для струны. Смещение струны можно было бы исключить из задачи, но в целом имеет место сложная диссипация, возникающая из-за динамики струны. Поэтому, на мой взгляд, неясно, как применять энергосбережение.

итлу

@kevinkayaks Я не уверен, что вы имеете в виду. Вы имеете в виду принять небольшой предел амплитуды, и, следовательно, смещение струны незначительно? осталось только рассеяние энергии волны через

m g δ (x - x_{p})

$mg \delta(x-x_p)$ в уравнении волновой струны? Но существует очевидный изгиб струны в месте

x_{p} (t)

$x_p(t)$ . Кажется, это противоречит вашему устранению смещения строки.

кевинкаякс

Под устранением я подразумеваю, что можно записать динамику частицы как

{\ddot{x}}_{p} (t) = F (x_{p}, {\dot{x}}_{p}, ψ (x))

$\ddot{x}_p(t) = F(x_p,\dot{x}_p,\psi(x))$ , затем выразить динамику струны из уравнения ведомой волны, как указано выше, затем, возможно, решить волновое уравнение для произвольного

x_{p}

$x_p$ и подключите его решение

ψ

$\psi$ (параметрируется

x_{p}

$x_p$ в уравнение динамики частиц, давая комплексный закон Ньютона для динамики частиц, который явно не включает струну. Это моя идея в любом случае. Струна должна двигаться и рассеивать энергию движения частицы, несмотря ни на что.

Эли

y(x) описывает висячую цепь? кош функция

кевинкаякс

y (x)

$y(x)$ была бы параболой Эли, если бы бусинки не было, а нить находилась в равновесии

Джон Хантер

@kevinkayaks Сохранение энергии, вероятно, было бы лучше всего, как упомянул @gs. Включите условия для продления провода

E = 0.5 k x^{2}

$E=0.5kx^2$ , где

x

$x$ растяжение, тепло, выделяемое трением

F d

$Fd$ где

d

$d$ это расстояние, пройденное по проводу, и изменение GPE, и тогда вы можете найти увеличение KE, следовательно, скорость

кевинкаякс

Пройденное расстояние зависит от формы струны, струна несет кинетическую энергию, работа трения не

F d

$F d$ потому что трение зависит от скорости, а не от кулона, и нет уникальной скорости частицы как функции времени без ограничения динамики струны для минимизации ее действия.

кевинкаякс

Очень странно называть этот вопрос «домашним заданием». Это не бусинка на жесткой проволоке, как во вводной механике. Я предлагаю всем, кто проголосовал за закрытие, попробовать решить проблему.

Биофизик

@kevinkayaks Это не было закрыто, потому что пользователи думали, что это похоже на жесткий проволочный чехол, и не потому, что пользователи думали, что это тривиально. PSE — это не сайт, который решает проблемы, независимо от их сложности. Я предлагаю прочитать ссылки в закрытом баннере; они должны прояснить ситуацию.

кевинкаякс

@BioPhysicist, это «интересно». физика.stackexchange.com /questions/509358/… , физика.stackexchange.com /questions/459221/… , физика.stackexchange.com /questions/514142/… , физика.stackexchange.com /questions/580088/…

Биофизик

@kevinkayaks Если вы считаете, что эти вопросы должны быть закрыты, вы можете пометить их как таковые :)

Ответы (1)

Бусинка с трением скользит по гибкой проволоке [закрыто]

Вы уверены, что первая формула подходит? Член трения для чего-то, скользящего по плоскости, обычно не зависит от скорости...
Да, это просто сопротивление, зависящее от скорости, а не кулоновское трение. Я искал динамику с предельной скоростью. Несмотря на это, было бы достаточно легко изменить задачу позже, если бы я был уверен, как сформулировать динамику частиц.
Я бы предложил найти y = f(x), а затем использовать закон сохранения энергии, где изменение гравитационной потенциальной энергии должно равняться работе трения плюс изменение кинетической энергии. Я согласен с Джоном Хантером в том, что сила трения, вероятно, не должна зависеть от скорости.
Нет ничего плохого в том, что сила сопротивления зависит от скорости. Он предназначен для представления того факта, что сопротивление на самом деле связано с тем, что бусина «выпрямляет» веревку, когда проходит по ней. Это не блок в самолете. Сохранение энергии кажется хорошим подходом, хотя и не простым, поскольку нужно интегрировать по струне, форма которой неизвестна и меняется.
Я могу ошибаться, но я думаю, что вы можете начать с предположения, что случай T = 0 имеет ту же кривую y = f (x), что и случай T> 0. Затем, когда у вас есть y = f (x), у вас есть $mg\Delta y = E(x) = T(x)+\int F_{friction}(x) dx$ . Найдите Т(х). Затем $v(x) = dx/dt = \sqrt{2T(x)/m}$ . Интегрировать обе стороны $dt=dx/v$ чтобы получить t = f(x), найдите x=f(t), возьмите производную, чтобы получить $dx/dt = f'(t)$
последнее, конечно, применить y=f(x), чтобы получить dy/dt для остальной части вектора скорости.
подождите, нет, на самом деле $v(x) = \sqrt {(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2}$ . Но поскольку вы знаете, что y=f(x), вы должны, по крайней мере, получить v(x) = f(dx/dt) и работать оттуда.
@gs Строковая функция $y=f(x)$ также изменяется по мере проскальзывания борта: $y(x, t)=\psi(x,t)$ , определено в тексте.
@ytlu Я имел в виду, что (x, y) - это положение шарика, а не конфигурация струны.
@г $mg\Delta y \ne T(x) + ..$ и нет никакого способа узнать $y(x,t) = f(x(t))$ .
Когда бусина скользит вниз, может ли она генерировать волну, распространяющуюся вдоль струны? или просто считать изгиб в положении бусины?
точно @ytlu, да, может. Нужно решить ньютоновскую динамику шарика в сочетании с уравнением ведомой волны для струны. Смещение струны можно было бы исключить из задачи, но в целом имеет место сложная диссипация, возникающая из-за динамики струны. Поэтому, на мой взгляд, неясно, как применять энергосбережение.
@kevinkayaks Я не уверен, что вы имеете в виду. Вы имеете в виду принять небольшой предел амплитуды, и, следовательно, смещение струны незначительно? осталось только рассеяние энергии волны через $mg \delta(x-x_p)$ в уравнении волновой струны? Но существует очевидный изгиб струны в месте $x_p(t)$ . Кажется, это противоречит вашему устранению смещения строки.
Под устранением я подразумеваю, что можно записать динамику частицы как $\ddot{x}_p(t) = F(x_p,\dot{x}_p,\psi(x))$ , затем выразить динамику струны из уравнения ведомой волны, как указано выше, затем, возможно, решить волновое уравнение для произвольного $x_p$ и подключите его решение $\psi$ (параметрируется $x_p$ в уравнение динамики частиц, давая комплексный закон Ньютона для динамики частиц, который явно не включает струну. Это моя идея в любом случае. Струна должна двигаться и рассеивать энергию движения частицы, несмотря ни на что.
y(x) описывает висячую цепь? кош функция
$y(x)$ была бы параболой Эли, если бы бусинки не было, а нить находилась в равновесии
@kevinkayaks Сохранение энергии, вероятно, было бы лучше всего, как упомянул @gs. Включите условия для продления провода $E=0.5kx^2$ , где $x$ растяжение, тепло, выделяемое трением $Fd$ где $d$ это расстояние, пройденное по проводу, и изменение GPE, и тогда вы можете найти увеличение KE, следовательно, скорость
Пройденное расстояние зависит от формы струны, струна несет кинетическую энергию, работа трения не $F d$ потому что трение зависит от скорости, а не от кулона, и нет уникальной скорости частицы как функции времени без ограничения динамики струны для минимизации ее действия.
Очень странно называть этот вопрос «домашним заданием». Это не бусинка на жесткой проволоке, как во вводной механике. Я предлагаю всем, кто проголосовал за закрытие, попробовать решить проблему.
@kevinkayaks Это не было закрыто, потому что пользователи думали, что это похоже на жесткий проволочный чехол, и не потому, что пользователи думали, что это тривиально. PSE — это не сайт, который решает проблемы, независимо от их сложности. Я предлагаю прочитать ссылки в закрытом баннере; они должны прояснить ситуацию.
@BioPhysicist, это «интересно». физика.stackexchange.com /questions/509358/… , физика.stackexchange.com /questions/459221/… , физика.stackexchange.com /questions/514142/… , физика.stackexchange.com /questions/580088/…
@kevinkayaks Если вы считаете, что эти вопросы должны быть закрыты, вы можете пометить их как таковые :)

итлу · Answer 1

Я предлагаю схему - квазистатическое приближение, предполагая, что струна всегда остается в статическом решении по мере движения шарика. Начну с описания струны без бусины.

р \frac{\partial^{2} у (Икс, т)}{\partial т^{2}} "=" Т \frac{\partial^{2} у (Икс, т)}{\partial {Икс}^{2}} - р г .

$\rho \frac{\partial^2 y(x, t)}{\partial t^2} = T \frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2} -\rho g.$ Для статического решения

\frac{\partial y (x)}{\partial t} = 0

$\frac{\partial y(x)}{\partial t} = 0$ , решение представляет собой квадратичную функцию для заданных двух граничных условий

y (x_{1}) = y_{1}

$y(x_1) = y_1$ , и

y (x_{2}) = y_{2}

$y(x_2) = y_2$ :

\begin{aligned} (1) & у (Икс) & "=" \frac{г}{2 в^{2}} {Икс}^{2} + А Икс + Б . \\ (2) & А & "=" \frac{у_{2} - у_{1}}{{Икс}_{2} - {Икс}_{1}} - \frac{г}{2 в^{2}} ({Икс}_{2} + {Икс}_{1}); \\ (3) & Б & "=" \frac{у_{1} {Икс}_{2} - у_{2} {Икс}_{1}}{{Икс}_{2} - {Икс}_{1}} + \frac{г}{2 в^{2}} {Икс}_{1} {Икс}_{2} . \end{aligned}

$\begin{align*} y(x) &= \frac{g}{2v^2}x^2 + A x + B.\tag{1}\\ A &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} - \frac{g}{2v^2} (x_2 + x_1);\tag{2} \\ B &= \frac{y_1 x_2 - y_2 x_1}{x_2 - x_1} + \frac{g}{2v^2} x_1 x_2.\tag{3} \end{align*}$ где

v = \sqrt{\frac{T}{ρ}}

$v=\sqrt{\frac{T}{\rho}}$ скорость волны струны. Это дает нам основную функцию для следующего шага. Пример приведен на следующем рисунке с параметром

ρ = 1

$\rho=1$ ,

T = 20

$T=20$ . Довольно свободная струна для четкого наблюдения за квадратичной функцией. (обратите внимание, что это отличается от задачи о контактной сети, свободно висящей веревке, из-за предположения о постоянном натяжении.)

Обладая этими базовыми знаниями, мы добавляем бусину в фиксированное положение, $x_p$ . Статическое уравнение:

0 "=" Т \frac{\partial^{2} у (Икс, т)}{\partial {Икс}^{2}} - р г - м г дельта (Икс - {Икс}_{п}) .

$0 = T \frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2} -\rho g - mg \delta(x-x_p).$ Разделим решение на две области:

\begin{matrix} (4) & у (Икс) "=" {\begin{array}{rr} \frac{г}{2 в^{2}} {Икс}^{2} + А_{1} Икс + Б_{1} & для {Икс}_{1} < Икс < {Икс}_{п} \\ \frac{г}{2 в^{2}} {Икс}^{2} + А_{2} Икс + Б_{2} & для {Икс}_{п} < Икс < {Икс}_{2} \end{array} \end{matrix}

$y(x) = \Big\{ { \begin{array}{rr} \frac{g}{2v^2} x^2 + A_1 x + B_1 & \text{ for } x_1 < x < x_p \\ \frac{g}{2v^2} x^2 + A_2 x + B_2 & \text{ for } x_p < x < x_2 \end{array} } \tag{4}$

Подобно уравнениям 2 и 3, найдите $A$ песок $B$ s параметры в интервале $[x_1, x_p]$ , и $[x_p, x_2]$ предполагать $y(x_p) = y_p$ .

\begin{aligned} А_{1} & "=" \frac{у_{п} - у_{1}}{{Икс}_{п} - {Икс}_{1}} - \frac{г}{2 в^{2}} ({Икс}_{п} + {Икс}_{1}); \\ Б_{1} & "=" \frac{у_{1} {Икс}_{п} - у_{п} {Икс}_{1}}{{Икс}_{п} - {Икс}_{1}} + \frac{г}{2 в^{2}} {Икс}_{1} {Икс}_{п} . \\ А_{2} & "=" \frac{у_{2} - у_{п}}{{Икс}_{2} - {Икс}_{п}} - \frac{г}{2 в^{2}} ({Икс}_{п} + {Икс}_{2}); \\ Б_{2} & "=" \frac{у_{п} {Икс}_{2} - у_{2} {Икс}_{п}}{{Икс}_{2} - {Икс}_{п}} + \frac{г}{2 в^{2}} {Икс}_{2} {Икс}_{п} . \end{aligned}

$\begin{align*} A_1 &= \frac{y_p - y_1}{x_p - x_1} - \frac{g}{2v^2} (x_p + x_1); \\ B_1 &= \frac{y_1 x_p - y_p x_1}{x_p - x_1} + \frac{g}{2v^2} x_1 x_p.\\ A_2 &= \frac{y_2 - y_p}{x_2 - x_p} - \frac{g}{2v^2} (x_p + x_2); \\ B_2 &= \frac{y_p x_2 - y_2 x_p}{x_2 - x_p} + \frac{g}{2v^2} x_2 x_p. \end{align*}$

Тогда формула соединения при $x= x_p$

\begin{aligned} {[\frac{\partial у}{\partial Икс}]}_{{Икс}_{п}^{+}} - {[\frac{\partial у}{\partial Икс}]}_{{Икс}_{п}^{-}} & "=" \frac{м г}{Т} \\ (5) & А_{2} - А_{1} & "=" \frac{м г}{Т} \end{aligned}

$\begin{align*} \left[\frac{\partial y}{\partial x}\right]_{x_p^+} -\left[\frac{\partial y}{\partial x}\right]_{x_p^-} & = \frac{mg}{T}\\ A_2 - A_1 & = \frac{mg}{T} \tag{5}\\ \end{align*}$

Из уравнения 5 находим функцию $y_p(x_p)$ :

\begin{matrix} (6) & у_{п} ({Икс}_{п}) "=" у_{2} \frac{{Икс}_{п} - {Икс}_{1}}{{Икс}_{2} - {Икс}_{1}} + у_{1} \frac{{Икс}_{2} - {Икс}_{п}}{{Икс}_{2} - {Икс}_{1}} - \frac{м г}{Т} \frac{({Икс}_{2} - {Икс}_{п}) ({Икс}_{п} - {Икс}_{1})}{{Икс}_{2} - {Икс}_{1}} - \frac{г}{2 в^{2}} ({Икс}_{2} - {Икс}_{п}) ({Икс}_{п} - {Икс}_{1}) \end{matrix}

$y_p(x_p) = y_2\frac{x_p-x_1}{x_2-x_1} +y_1\frac{x_2-x_p}{x_2-x_1} -\frac{mg}{T} \frac{(x_2-x_p)(x_p-x_1)}{x_2-x_1} - \frac{g}{2v^2} (x_2-x_p)(x_p-x_1)\tag{6}$

На следующем рисунке показаны уравнение 4 и уравнение 6 для $\rho=1$ , $T=200$ , $m=10$ с $x_p = 0.7$ При большом напряжении ( $200$ ), квадратичные функции в обеих областях очень близки к линейным линиям.

На этом рисунке направления силы отмечены: натяжение $T_1$ , и $T_2$ в тангенциальном направлении уравнения 4 с разрывной направленностью между ними гравитационное $mg$ в $-\hat y$ направление и сила тяги $-bv$ по касательной к $y_p(x_p)$ . Все эти силы можно разложить на $x$ и $y$ компоненты для вычисления силы по касательной $y_p(x_p)$ , что является направлением движения шарика $m$ .

\begin{array}{llc} Направление движения & \hat{т} "=" \frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{д у_{п}}{д {Икс}_{п}})}^{2}}} (\hat{Икс} + \hat{у} \frac{д у_{п}}{д {Икс}_{п}}) & уравнение 6 \\ Напряжение вверх & {\vec{Т}}_{1} "=" \frac{Т}{\sqrt{1 + {(\frac{д у}{д Икс})}_{{Икс}_{п}^{-}}^{2}}} {(\hat{Икс} + \hat{у} \frac{д у}{д Икс})}_{{Икс}_{п}^{-}} & Уравнение 4 (а) \\ Напряжение вниз & {\vec{Т}}_{2} "=" \frac{Т}{\sqrt{1 + {(\frac{д у}{д Икс})}_{{Икс}_{п}^{+}}^{2}}} {(\hat{Икс} + \hat{у} \frac{д у}{д Икс})}_{{Икс}_{п}^{+}} & Уравнение 4 (б) \\ Бусинная масса & {\vec{Ф}}_{г} "=" м г \hat{у} \\ Перетаскивание & {\vec{ф}}_{д} "=" - γ в \hat{т} \end{array}

$\begin{array}{llc} \text{Moving direction} & \hat t = \frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{dy_p}{dx_p}\right)^2}}\left(\hat x + \hat y\frac{dy_p}{dx_p}\right)& \text{ Eq.6} \\ \text{Tension up } &\vec T_1= \frac{T}{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x_p^-}^2}}\left(\hat x + \hat y\frac{dy}{dx}\right)_{x_p^-}& \text{ Eq.4 (a)} \\ \text{Tension down } &\vec T_2=\frac{T}{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x_p^+}^2}} \left(\hat x + \hat y\frac{dy}{dx}\right)_{x_p^+} &\text{ Eq.4 (b)}\\ \text{Bead mass } & \vec F_g = mg \hat y & \\ \text{Dragging } & \vec f_d =-\gamma v \hat t & \\ \end{array}$ где

\begin{aligned} \frac{д у_{п}}{д {Икс}_{п}} & "=" \frac{у_{2} - у_{1}}{{Икс}_{2} - {Икс}_{1}} + \frac{м г}{Т} \frac{2 {Икс}_{п} - {Икс}_{2} - {Икс}_{1}}{{Икс}_{2} - {Икс}_{1}} + \frac{г}{2 в^{2}} (2 {Икс}_{п} - {Икс}_{2} - {Икс}_{1}); \\ {(\frac{д у}{д Икс})}_{{Икс}_{п}^{-}} & "=" \frac{г}{в^{2}} {Икс}_{п} + А_{1}; \\ {(\frac{д у}{д Икс})}_{{Икс}_{п}^{+}} & "=" \frac{г}{в^{2}} {Икс}_{п} + А_{2}; \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{dy_p}{dx_p} &= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}+\frac{mg}{T}\frac{2x_p-x_2-x_1}{x_2-x_1} +\frac{g}{2v^2}\left(2x_p - x_2- x_1\right);\\ \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x_p^-} &= \frac{g}{v^2} x_p + A_1;\\ \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x_p^+} &= \frac{g}{v^2} x_p + A_2; \end{align*}$

Наконец, уравнение движения шарика по $y_p(x_p)$ изгиб:

м \frac{д в}{д т} "=" - γ в + {\vec{Ф}}_{г} \cdot \hat{т} - {\vec{Т}}_{1} \cdot \hat{т} + {\vec{Т}}_{2} \cdot \hat{т} .

$m\frac{dv}{dt} = -\gamma v + \vec F_g \cdot \hat t - \vec T_1 \cdot \hat t + \vec T_2 \cdot \hat t.$ Буртик вынужден двигаться по кривой

y_{p} (x_{p})

$y_p(x_p)$ , следовательно, в вертикальном направлении действуют ограничивающие силы.

\hat{t}

$\hat t$ , которые не показаны на рисунке.

Бусинка с трением скользит по гибкой проволоке [закрыто]

кевинкаякс

Джон Хантер

кевинкаякс

гс

кевинкаякс

гс

гс

гс

итлу

гс

итлу

итлу

кевинкаякс

итлу

кевинкаякс

Эли

кевинкаякс

Джон Хантер

кевинкаякс

кевинкаякс

Биофизик

кевинкаякс

Биофизик

Ответы (1)

итлу

Классические точечные частицы в классические поля

Понимание несжимаемости (резины или вязкоупругого материала)

Изучение базовой механики удара

Почему правило произведения не используется в определении механической работы?

Третий закон Ньютона для блока на столе [дубликат]

Марсианин Марвин против Звезды Смерти: сколько энергии им на самом деле понадобится, чтобы разрушить Землю?

Основные ограничения для гамильтоновых теорий поля

Насколько практична механика разрушения?

Лагранжиан в неинерциальной системе отсчета

Почему кинетическая энергия является неподвижной точкой преобразования Лежандра?