Классические точечные частицы в классические поля

Хотя я не уверен на 100%, о чем вы спрашиваете, я полагаю, что вы говорите о рассмотрении решетки дискретных точек и принятии непрерывного предела, при котором расстояние между точками решетки стремится к нулю.

Простейшим примером является рассмотрение одномерного упругого стержня с массовой плотностью$\mu$. Сила, приложенная к нему из-за модуля Юнга, определяется выражением:

$$\begin{equation} F = -Y \xi \end{equation}$$ где $\xi$обозначает отклонение упругого стержня от положения равновесия. Мы можем думать о стержне как о бесконечном количестве равноотстоящих друг от друга частиц, находящихся в покое, где мы позволим себе $m$обозначают массу каждой частицы (которая, конечно, одна и та же для каждой частицы), и мы полагаем $a$обозначают расстояние между частицами. Теперь мы можем записать массовую плотность следующим образом: $$\begin{equation} \mu = \frac{dm}{dx} = \displaystyle\lim_{a\to 0} \frac{m}{a} \end{equation}$$

Теперь предположим, что каждая частица взаимодействует только со своими ближайшими соседями, поэтому силу между частицами можно аппроксимировать с помощью закона Гука:

$$\begin{equation} F = - \kappa \left(y_{i+1}-y_i\right) = - \left( \kappa a \right) \frac{y_{i+1}-y_i}{a} \end{equation}$$ Кроме того, записав силу, выраженную через модуль Юнга, через относительное расстояние $a$: $$\begin{equation} F = - Y \frac{y_{i+1}-y_i}{a} \end{equation}$$ мы можем написать: $$\begin{equation} Y= \displaystyle\lim_{a\to 0} \left(\kappa a \right) \end{equation}$$ Подводя итог, мы связали постоянную Гука с модулем Юнга.

Кроме того, с помощью обычной классической механики мы можем записать потенциальные энергии всех пружин как:

$$\begin{equation} V= \sum\limits_{i} \frac{1}{2} \kappa \Delta y_i^2 = \sum\limits_{i} \frac{1}{2} \kappa \left(y_{i+1}-y_i\right)^2 \end{equation}$$ а кинетическая энергия всех частиц определяется выражением: $$\begin{equation} T= \sum\limits_{i} \frac{1}{2} m \dot{y}_i^2 \end{equation}$$ Следовательно, лагранжиан системы определяется выражением: $$\begin{equation} L=T-V = \sum\limits_{i}\left[ \frac{1}{2} m \dot{y}_i^2 - \frac{1}{2} \kappa \left(y_{i+1}-y_i\right)^2 \right] \end{equation}$$ Используя уравнение Эйлера-Лагранжа, мы можем легко найти уравнения движения для каждой частицы $j$в дискретизированном стержне: $$\begin{equation} \frac{\partial L}{\partial y_k} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{y}_k} \right) = 0 \end{equation}$$ $$\begin{equation} \Rightarrow \frac{\partial }{\partial y_k} \left( \sum\limits_{i} \frac{1}{2} \kappa \left(y_{i+1}-y_i\right)^2 \right) + \frac{d}{dt} \left[ \frac{\partial }{\partial \dot{y}_k} \left( \sum\limits_{i} \frac{1}{2} m \dot{y}_i^2 \right) \right] = 0 \end{equation}$$ $$\begin{equation} \Rightarrow \frac{\partial}{\partial y_k} \left( \frac{1}{2} \kappa \left(y_{k+1}-y_k\right)^2 + \frac{1}{2} \kappa \left(y_{k}-y_{k-1}\right)^2 \right) + \frac{d}{dt} \left[ \frac{\partial }{\partial \dot{y}_k} \left( \frac{1}{2} m \dot{y}_k^2 \right) \right] = 0 \end{equation}$$ $$\begin{equation} \Rightarrow - \kappa \left(y_{k+1}-y_k\right) + \kappa \left(y_{k}-y_{k-1}\right) + m \ddot{y}_k = 0 \end{equation}$$ Теперь рассмотрим предел, при котором расстояние в дискретизированном стержне стремится к нулю: $$\begin{align} y_k(t) & \rightarrow y(x,t) \\ y_{k+1}(t) & \rightarrow y(x+a,t) \\ y_{k-1}(t) & \rightarrow y(x-a,t) \\ y_{k+2}(t) & \rightarrow y(x+2a,t) \\ y_{k-2}(t) & \rightarrow y(x-2a,t) \\ & \dots \end{align}$$ Уравнения движения теперь можно записать так: $$\begin{equation} - \kappa \left[ y(x+a,t) - y(x,t) - y(x,t) + y(x-a,t) \right] + m \ddot{y}(x,t) = 0 \end{equation}$$ $$\begin{equation} \Rightarrow - \kappa \left[ \frac{y(x+a,t) - y(x,t)}{a} - \frac{y(x,t) - y(x-a,t)}{a} \right] + \frac{m}{a} \ddot{y}(x,t) = 0 \end{equation}$$ $$\begin{equation} \Rightarrow - \left( \kappa a \right) \left[ \frac{\left(y(x+a,t) - y(x,t)\right)/a}{a} - \frac{\left(y(x,t) - y(x-a,t)\right)/a}{a} \right] + \frac{m}{a} \ddot{y}(x,t) = 0 \end{equation}$$ Принимая предел $a \rightarrow 0$, мы можем написать: $$\begin{equation} \displaystyle\lim_{a\to 0} \frac{y(x+a,t) - y(x,t)}{a} = \frac{\partial y(x,t)}{\partial x} \end{equation}$$ и: $$\begin{equation} \displaystyle\lim_{a\to 0} \frac{y(x+a,t) - 2y(x,t) + y(x-a,t)}{a^2} = \frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2} \end{equation}$$ Поэтому получаем уравнения движения для колебаний поля $y(x,t)$: $$\begin{equation} -Y \frac{ \partial^2 y(x,t)}{\partial x^2} + \mu \frac{ \partial^2 y(x,t)}{\partial t^2} = 0 \end{equation}$$

Редактировать:

Например, предпринимаются попытки вывести гидродинамику из кинетической теории молекул. Я не очень разбираюсь в деталях, но это связано с усреднением, сглаживанием и вероятностными предположениями. Например, можно начать с$N-$функция распределения частиц, которая удовлетворяет уравнению Лиувилля (описание частиц), и при определенных предположениях и после многих сложных шагов получают новые уравнения для величин поля, таких как плотность или поле скорости, которые описывают частицы вероятностным образом.

Вы можете посмотреть, о чем идет речь, в R. Balescu: Statistical Dynamics, Matter out of равновесия, Imperial College Press, 1997.