Мое упрощенное историческое понимание состоит в следующем. Евклидова геометрия принимала ограниченное количество геометрических объектов (линейки и циркульные построения, коники). Геометрия Декарта расширила геометрическую вселенную и ввела методы работы с алгебраическими кривыми в целом. В следующие столетия произошло дальнейшее ослабление, позволившее также использовать неалгебраические кривые и (аналитические) функции в современном смысле.
Говорят, что древняя математическая астрономия использовала эпициклоиды . Но это (за исключением частных случаев отношения радиусов) даже не алгебраические кривые. Декарт не принял бы их, а следовательно (?) не принял бы и греческих геометров. Мое предположение примерно таково, что "греческие геометрические объекты" «Декартовы геометрические объекты», хотя это, вероятно, нуждается в дополнительной квалификации.
Древние геометры/астрономы не записывали параметрические уравнения эпициклоид. Но были ли эти кривые приемлемыми объектами в глазах математиков? Допускалось ли построение кривой посредством катящихся друг по другу кругов в соответствии с греческими геометрическими стандартами? Было много споров об использовании сложных кривых (спираль, хонхоид и т. д.) для решения известных математических задач (трисекция угла и т. д.). Так почему же использование эпициклоидов в лучшем случае не вызывает споров, а в худшем — «запрещено»?
Не совсем правильно говорить, что древняя астрономия использовала эпициклоиды. Эпициклы , да, но как ни странно, гипоциклоиды, эпициклоиды и циклоиды не изучались как геометрические кривые (насколько нам известно), несмотря на использование эпициклов в астрономии. К ним можно было бы провести касательные с помощью той же техники, которую использовал, например, Архимед для своей спирали, но это не было сделано до наших дней.
Эпициклы рассматривались просто как вычислительные устройства, и их геометрия не имела большого значения даже в геометрических построениях, используемых Птолемеем и его исламскими преемниками, см., например, « Эпизоды из ранней истории астрономии» Аабоэ . Эти кривые визуализируют движение планет, но для определения измеряемых параметров орбит было достаточно построений линий и окружностей. Возможно, геометры хотели отделить свои внешние приложения, или, возможно, они не оказались столь полезными внутри, но их геометрия не изучалась явно до 16 века.
При этом греки не ограничивались прямыми линиями и коническими кривыми. Ачерби дает обзор доступных им построений кривых в книге « Гомеомерные линии в греческой математике» Ачерби :
1 ) Порождающие конструкции. Обычно они сводятся к разрезанию поверхности плоскостью. Таким образом были определены конические (Con. I.11–3) и торические сечения (iE, 112.4–8). 2) Точечные геометрические
конструкции . Дана процедура нахождения изолированных точек, лежащих на кривой, которая затем аппроксимируется путем соединения таких точек отрезками или дугами других известных прямых... 3)
Пересечения поверхностей, в свою очередь получаемых вращением плоских фигур (конические, цилиндрические, торические поверхности) Это случай кривых, неявных в методе Архита для решения проблемы удвоения куба (Евтокий, по авторитетному мнению Евдема, в AOO III: 84.12–88.2). 4
) «Механические» построения, в которых допускается движение некоторых геометрических объектов, например прямых линий, причем кривая порождается движением некоторой подходящей точки на них... 5) Выдвижение
свойства , однозначно идентифицирующего кривую.. . "
«Механические кривые», изучаемые как таковые, включали квадратрису , спираль Архимеда , спираль , конхоиду и циссоиду . Раковина и циссоида — алгебраические кривые, остальные — трансцендентные. Астроида, эволюта эллипса, а также эволюта параболы и гиперболы, неявно появляются в Конике Аполлония, в решении проблемы числа нормалей, которые можно провести к конике из точки, см. Эллипс и эволюту Аполлония, пересмотренные Хартманн-Янцен . Но он не изучает их как кривые.
Что касается принятия, то механические (и даже пересекающиеся) кривые были заклеймены, потому что они были «нечистыми» в соответствии с критикой Платона и, как он выразился, «искажали благо геометрии» . введена прикладная математика? Тем не менее, они были приемлемы в прикладных контекстах. Сам Платон призывал математиков «спасать явления» в астрономии, прибегая к «нечистым» методам, а его ближайший сподвижник Евдокс ловко использовал одно из спиральных сечений, гиппопед, в своих моделях попятного движения планет, см. «Новая роль гиппопеда Евдокса» Явеца и «Математика Евдокса и сферы Евдокса» Ридделя. Первоначальная конструкция гиппопеда также была механической, путем составления движений сфер, вращающихся под углом друг к другу, и, согласно некоторым реконструкциям, именно упрощение замены сфер плоскими кругами привело Аполлония к введению эпициклов.
Однако когда дело доходило до решения собственно математических задач, механические кривые вызывали неодобрение. Папп в своем Сборнике классифицирует задачи на плоские (решаемые с помощью линейки и циркуля), твердые (решаемые с помощью коников) и остальные, как ни странно для нас, называемые «линейными» (у греков «линия» означала то, что мы называем «кривой»). Папп ясно дает понять, что каждый тип проблемы должен решаться «соответствующими» методами, причем механические кривые должны быть последним средством, когда ничего не помогает. Как пишет Ачерби:
« Для древних геометров было очевидно, что всякая плоская задача может быть решена и твердотельными методами и т. п., и совершенно ясно для них, что любая отдельная задача попадает по своему существу только в одну из этих категорий, если требуется минимальность применяемого математического аппарата — даже если никаких доказательств этого не приводится (ср. Папп, Собр. III.21 и IV.59; нормативный характер предписания Паппа, вероятно, исходит от Аполлония, как мы увидим в сопутствующей статье)» .
Квадратриса, спираль и спираль использовались именно так, Диностратом, Архимедом и Аполлонием, соответственно, для одной такой задачи, квадратуры круга. Евдокс и его учитель Архит использовали гиппопеда для дублирования куба, так как Диокл использовал циссоиду, квадратрису и раковину для трисекции угла. Но решение Менехма с пересечением коник было предпочтительным для обоих.