Часы на маятнике

Да, хотя наблюдатель, движущийся с маятником, измеряет одну и ту же скорость вперед и назад, однако в инерциальной системе отсчета скорость маятника относительно движущейся системы различается между движением вперед и назад. Вы можете проверить это, используя формулу сложения скоростей , используемую для расчета относительных скоростей (показана ниже в натуральных единицах , то есть все скорости выражаются в долях от 1, где 1 — скорость света).

где$v$- скорость системы, содержащей маятник,$u'$- скорость маятника, измеренная в этой системе, и$u$- абсолютная скорость маятника, измеренная в системе инерциальных наблюдателей. Скорость маятника относительно оси вращения, измеренная инерциальным наблюдателем, равна$|u - v|$и вы можете рассчитать это движение вперед$+u'$дает меньшую относительную скорость, чем$-u'$на махе назад.

Поскольку маятник качается быстрее при обратном колебании, продолжительность его качания будет короче, что компенсирует тот факт, что часы тикают быстрее (из-за меньшего замедления времени) и количество тактов будет складываться точно к количеству тиков на колебании вперед, которое имеет большую продолжительность, но большее замедление времени.

Мы можем выразить это соотношение алгебраически, заметив, что продолжительность полупериода в инерциальной системе отсчета равна$\Delta t = {L \over |u - v|}$где$L$- расстояние, пройденное за полувзмах; и формула для времени, прошедшего в кадре часов (т.е. количество тактов)$\Delta t' = \Delta t \sqrt {1 - u^2}$. Обработав и упростив формулу для случая, когда$u$положительное (колебание вперед) и отрицательное (колебание назад) продемонстрирует, что$\Delta t$одинаково для обоих, хотя они движутся с разной скоростью.

(Я еще не исследовал лежащий в основе механизм того, почему скорость меняется при движении вперед и назад).

Я вижу две основные проблемы с вашим сценарием:

1) Маятник не является инерциальной системой отсчета, поэтому специальная теория относительности здесь не работает.

2) Если рассматривать проблему как набор мгновенных инерциальных систем отсчета, как это делается в классической задаче о релятивистской ракете, вы обнаружите, что ваше предположение о том, как измеряется время, неверно: два наблюдателя не будут наблюдать разное количество тактов при колебаниях вперед и назад, потому что число тактов увеличивается и с точки зрения неподвижного наблюдателя. Таким образом, маятнику может потребоваться шесть тактов, чтобы двигаться вперед, и шесть тактов, чтобы вернуться, но для стационарного наблюдателя шесть тактов движения вперед будут происходить медленнее, чем те, что при обратном колебании. Наблюдатель, сидящий на маятнике, увидит, что все они происходят с одинаковой скоростью, а наблюдатель, сидящий в точке вращения (с постоянной скоростью) маятника, увидит симметричное замедление времени для передних и задних колебаний.

Маятник в основном представляет собой часы, поэтому, если мы игнорируем проблему инерциальных систем отсчета, любые релятивистские эффекты, влияющие на маятник, аналогичным образом повлияют на часы.