Чему учил Г. Х. Харди Рамануджана?

Чтобы узнать о прошлом Рамануджана, см. Как Рамануджан научился заниматься математикой? По словам самого Харди, он не преподавал ему никаких тем, только идею и, возможно, некоторые методы доказательства, см. его лекцию индийского математика Рамануджана . Рамануджан действительно почерпнул фрагменты современной математики из различных источников, в которых Харди не слишком уверен, за исключением «Краткого обзора элементарных результатов чистой и прикладной математики» Карра . То, что он с большими пробелами изучил по классической и аналитической теории чисел, эллиптическим функциям, асимптотическому анализу, гипергеометрическим рядам и цепным дробям, было самообучением, которое Харди себе не приписывает:

У него был невозможный недостаток, бедный и одинокий индус, противопоставляющий свои мозги накопленной мудрости Европы... Его нельзя было учить систематически, но он постепенно усваивал новые точки зрения. В частности, он узнал, что имелось в виду под доказательством, и его более поздние работы, хотя и в некотором роде столь же странные и индивидуальные, как всегда, читались как работы хорошо информированного математика. Однако его методы и оружие остались в основном теми же. Можно было бы подумать, что такой формалист, как Рамануджан, упивается теоремой Коши, но он практически никогда ею не пользовался, и самым поразительным свидетельством его формального гения является то, что он, казалось, никогда не чувствовал в ней нужды.

[...] Например, в аналитической теории чисел он в некотором смысле многое открыл, но был очень далек от понимания реальных трудностей предмета. И есть некоторые его работы, в основном по теории эллиптических функций, в отношении которых до сих пор остается некоторая загадка; невозможно после всей работы Ватсона и Морделла провести границу между тем, что он мог как-то подцепить, и тем, что он должен был найти для себя... Тут я должен признать, что виноват я, так как есть многое, что мы хотели бы знать сейчас и что я мог бы обнаружить довольно легко ... Я даже никогда не спрашивал его, видел ли он (как я думаю, он должен был сделать) эллиптические функции Кэли или Гринхилла.

[...] Теория простых чисел Рамануджана была подорвана его незнанием теории функций комплексной переменной. Это было (так сказать) то, чем могла бы быть теория, если бы дзета-функция не имела комплексных нулей. Его метод основывался на массовом использовании расходящихся рядов... То, что его доказательства должны были оказаться недействительными, было вполне ожидаемым. Но ошибки были глубже, и многие фактические результаты были ложными. Он получил доминирующие члены классических формул, хотя и неверными методами; но ни одно из них не является таким близким приближением, как он предполагал.

[...] Я не думаю, что Рамануджан многое открыл в классической теории чисел или действительно много знал. Он вообще никогда не знал общей теории арифметических форм. Я сомневаюсь, знал ли он квадратичный закон взаимности до того, как приехал сюда. Диофантовы уравнения должны были бы его устроить, но он занимался ими сравнительно мало, а то, что он делал, было не лучшим из его возможностей.

[...] В алгебре основная работа Рамануджана была связана с гипергеометрическими рядами и цепными дробями (конечно, я использую слово «алгебра» в его старомодном смысле). Эти предметы точно подходили ему, и здесь он, несомненно, был одним из великих мастеров... Что касается гипергеометрических рядов, то можно грубо сказать, что он заново открыл формальную теорию, изложенную в трактате Бейли, как она была известна до 1920 года. Кое-что об этом есть у Карра, а еще больше — в «Алгебре» Кристала, и, без сомнения, он начал с нее.

[...] В собственно анализе работа Рамануджана неизбежно менее впечатляюща, поскольку он не знал теории функций, а без нее нельзя проводить настоящий анализ, и поскольку формальная сторона интегрального исчисления, которая была всем, что он мог узнать из Карр, как и любая другая книга, прорабатывалась так много раз и так интенсивно. Тем не менее, Рамануджан заново открыл поразительное количество прекраснейших аналитических личностей.

Вышеупомянутый «Краткий обзор элементарных результатов чистой и прикладной математики» Карра оказал большое влияние на Рамануджана в раннем возрасте:

Это была книга совсем другого рода, «Синопсис Карра», которая впервые пробудила все силы Рамануджана... Книга ни в коем случае не великая, но Рамануджан прославил ее, и нет сомнения, что она оказала на него глубокое влияние. и что его знакомство с ней стало настоящей отправной точкой его карьеры ... У Карра есть разделы по очевидным предметам, алгебре, тригонометрии, исчислению и аналитической геометрии, но некоторые разделы развиты непропорционально, и особенно формальная сторона интегрального исчисления . Кажется, это была любимая тема Карра, и ее трактовка очень полная и в своем роде определенно хорошая. Теории функций нет... Что более удивительно, принимая во внимание собственные вкусы Карра и более поздние работы Рамануджана, так это отсутствие эллиптических функций.

Я бы не стал доверять оценке Харди; он ведь сказал:

он носил невозможный недостаток, бедный и одинокий индус, напрягающий свои мозги против накопленной мудрости Европы ... Его нельзя было учить систематически, но он постепенно усваивал новые точки зрения.

Учитывая, что Рамануджан, по его собственному признанию, изучал математику по европейским учебникам, таким как «Синопсис» Карра, вряд ли можно сказать, что он «напрягал свои мозги против накопленной Европы мудрости»; более того, его решение переехать в Европу показало, что он очень хотел заниматься европейской математикой. Я бы сказал, что когда он переехал в Европу, он уже был полноправным математиком со своими представлениями о том, как заниматься математикой, а главное - о том, что его интересовало.

Чему учил Г. Х. Харди Рамануджана?

Харди очень мало дал Рамануджану входа в математическую среду, что было самым важным в то время в математической карьере Рамануджана.