Почему двери поворачиваются?

Крутящий момент зависит от силы и расстояния между шарниром и точкой приложения силы.

Когда вы тянете дверь за ручку, вы прикладываете силу, и расстояние между ручкой и петлями не равно нулю, поэтому вы получаете крутящий момент и, как следствие, вращение вокруг петель.

Шарниры прилагают усилие к центру вращения, поэтому они не могут создавать никакого крутящего момента.

Нет «равных, но противоположных крутящих моментов», потому что есть только один.

Крутящие моменты меняют направление вращения точно так же, как силы изменяют направление движения. Текущие вращения или перемещения не требуют действующих крутящих моментов или сил.

Когда вы открываете дверь, вы прикладываете силу, и возникает крутящий момент, перекрестное произведение силы и расстояния. Однако, поскольку дверь поворачивается и качается вокруг центра (петли), петли не могут создавать никакого крутящего момента, поскольку сами являются центром. Однако они прикладывают силу к центру.

Подумайте об этом так: есть 2 силы, но создается только 1 крутящий момент, поскольку одна сила действует на точку вращения.

а) Сила реакции петли не равна и противоположна силе, приложенной к двери. Они именно такие, какими они должны быть, чтобы заставить дверь вращаться вокруг петли.

б) Именно чистый крутящий момент относительно центра масс вращает дверь. В этот чистый крутящий момент вносят вклад приложенные силы и реакция шарнира.

в) Это помогает построить диаграмму свободного тела и сформулировать уравнения движения, прежде чем делать какие-либо предположения. Давайте посмотрим на планарный упрощенный пример:

Здесь шарнир в точке А имеет неизвестные силы реакции$A_x$и$A_y$. Приложенная сила$B_y$приложен в точке B , а центр масс находится в точке C. Расстояние от точки разворота до COM равно$c$а расстояние от силы до ЦМ равно$d$. Назовем угол поворота$\theta$(не показано).

1. Кинематика . Дверь шарнирно закреплена в точке A , поэтому единственным допустимым движением центра масс C является $$\begin{aligned} \ddot{x}_C & = -c\,\dot{\theta}^2 \\ \ddot{y}_C & = c\,\ddot{\theta} \end{aligned}$$
2. Силы - Сумма сил перемещает центр масс (масса равна$m$) $$\begin{aligned} A_x & = m \ddot{x}_C = -m c \,\dot{\theta}^2 \\ A_y + B_y & = m \ddot{y}_C = m c\,\ddot{\theta} \end{aligned}$$
3. Моменты - сумма моментов относительно ЦМ вращает тело (момент инерции масс равен$I_C$) $$\begin{aligned} d\,B_y -c A_y & = I_C \ddot{\theta} \end{aligned}$$
4. Решение . Решите приведенные выше три уравнения для реакции штифта и движения. $$\begin{aligned} A_x & = -m c \dot{\theta}^2 \\ A_y & = \left( \frac{m c (c+d)}{I_C + m c^2}-1 \right) B_y \\ \ddot{\theta} & = \left( \frac{c + d}{I_C + m c^2} \right) B_y \end{aligned}$$
5. Объяснение
   • Реакция по оси x зависит только от движения двери.
   • Реакция по оси у наиболее сложная, но она становится нулевой при приложении силы через ось удара$d = \frac{I_C}{m c}$.
   • Ускорение вращения зависит от крутящего момента из-за приложенной нагрузки$(c+d)B_y$а момент инерции масс относительно штифта$I_C + m c^2$.
6. Эффективная масса . Движение точки B силы определяет эффективную массу, воспринимаемую силой. Ускорение вдоль силы равно$\ddot{y}_B = (c+d) \ddot{\theta}$и, таким образом, эффективная масса $$m_{\rm effective} = \frac{B_y}{\ddot{y}_B} = \frac{I_C + m c^2}{(c+d)^2}$$

Кстати, вы упомянули 3-й закон Ньютона, который применяется здесь к шарниру. Силы$A_x$и$A_y$от петли к двери, а равные и противоположные силы приложены от двери к петлям (и раме или земле).

Чтобы правильно решить этот тип проблемы, вам необходимо настроить соответствующий набор координат и оценить все крутящие моменты и силы в этой системе координат. Крутящий момент определяется относительно оси или относительно некоторой оси через соотношение cross(r, F) для каждой силы. r — вектор от оси к точке контакта F. Для «свободных» тел движение можно разделить на две составляющие: движение ЦМ, определяемое результирующей силой, и движение вокруг ЦМ, которое для твердое тело представляет собой чистое вращение и управляется крутящими моментами. Когда вы ограничиваете твердое тело фиксированием в точке (сферический шарнир) или вдоль оси (например, дверь), вы все еще можете описать движение вокруг ЦМ, но это становится нелогичным. Лучшим подходом является расчет всего относительно фиксированной оси вращения (в данном случае определяемой шарнирами). В этом описании есть одна и только одна степень свободы, необходимая для описания происходящего (у вас действительно есть 3 степени поворота, но шарнир ограничивает две из них).

Сила, которую вы прикладываете, создает крутящий момент вокруг оси, определяемой шарниром (шарнирами). На шарнире есть сила реакции (она должна быть, чтобы ограничение сработало). Рассмотрим фигуру двери с петлей в виде цилиндрической стойки, проходящей через цилиндрическую манжету (отверстие в двери), и рассмотрим бесконечно малый зазор между стойкой и поверхностью манжеты. Шарнирная сила является контактной силой. Таким образом, есть только два возможных вклада в эту силу (в нашей идеальной модели, где дверь и петля «жесткие»). Первая представляет собой нормальную силу из-за контакта двух поверхностей. Это будет указывать в радиальном направлении вдоль линии, проходящей через центр шарнира. Второй – сцепление между штифтом и манжетой, т. е. касательное сцепление с поверхностями, возникающее из-за трения. Первый, будучи нормальным, никогда не создаст крутящий момент, поскольку cross(r, F) = 0 для этой силы. Второй создаст крутящий момент, противодействующий усилию, которое вы прилагаете, чтобы открыть дверь. Если это произойдет, вы должны нанести масло или WD40 на петлю. Мы можем предположить, что поверхность между штифтом и манжетой не имеет трения, и эта сила исчезнет. В реальной жизненной ситуации эта сила должна быть очень малой или может быть сделана сколь угодно малой. Следовательно, относительно неподвижной оси вращения шарнир не создает крутящего момента. Вы также можете взять предел очень малого радиуса для шарнира и прийти к результату, что крутящие моменты из-за сил шарнира относительно оси вращения приблизительно равны нулю. Мы можем предположить, что поверхность между штифтом и манжетой не имеет трения, и эта сила исчезнет. В реальной жизненной ситуации эта сила должна быть очень малой или может быть сделана сколь угодно малой. Следовательно, относительно неподвижной оси вращения шарнир не создает крутящего момента. Вы также можете взять предел очень малого радиуса для шарнира и прийти к результату, что крутящие моменты из-за сил шарнира относительно оси вращения приблизительно равны нулю. Мы можем предположить, что поверхность между штифтом и манжетой не имеет трения, и эта сила исчезнет. В реальной жизненной ситуации эта сила должна быть очень малой или может быть сделана сколь угодно малой. Следовательно, относительно неподвижной оси вращения шарнир не создает крутящего момента. Вы также можете взять предел очень малого радиуса для шарнира и прийти к результату, что крутящие моменты из-за сил шарнира относительно оси вращения приблизительно равны нулю.

Одним из ключей к пониманию различных подходов к описанию ситуации является то, что вы можете свободно оценивать крутящие моменты и движение в любых желаемых координатах.

Для свободных объектов рамка COM идеальна для описания вращения, для неподвижных тел идеальна неподвижная ось.