Четырехдивергенция и преобразование Лежандра

В качестве учебного случая рассмотрим следующий лагранжиан для левого поля Вейля$\chi \in \mathbb{C}^{2}$:

$$\mathcal{L} = \chi^{\dagger} \mathrm{i} \overline{\sigma}^{\rho} \partial_{\rho} \chi$$

где$\overline{\sigma}^{\rho} \equiv (1_{2},-\sigma^{i})$, с$\sigma^{i}$стандартные матрицы Паули. Соответствующий гамильтониан (плотность) получается, как обычно, преобразованием Лежандра [с$a$работает, конечно, над двумя компонентами$\chi$]:

$$\mathcal{H} = \mathcal{L}\frac{\overleftarrow{\partial }}{\partial \dot{\chi^{a}}}\dot{\chi^{a}}-\mathcal{L} = \mathrm{i} \chi_{a} ^{\dagger }\dot{\chi}^{a}-\mathcal{L},$$

правильно дает гамильтониан, не содержащий производных по времени:$\mathcal{H} = -\chi^{\dagger} \mathrm{i} \overline{\sigma}^{i} \partial_{i} \chi.$Теперь рассмотрим приведенный выше лагранжиан, дополненный четырехдиверсионным$-\frac{\mathrm{i}}{2}\partial _{\rho }\left( \chi ^{\dagger } \overline{\sigma }^{\rho }\chi \right)$привести его к следующему явно эрмитовому виду:

$$\mathcal{L}'=\frac{\mathrm{i}}{2}\left[ \chi ^{\dagger }\overline{\sigma } ^{\rho }\partial _{\rho }\chi -\left( \partial _{\rho }\chi \right) ^{\dagger }\overline{\sigma }^{\rho }\chi \right];$$

и рассмотрим следующий анзац для ассоциированного гамильтониана:

$$\mathcal{H}' = \mathcal{L}'\frac{\overleftarrow{\partial }}{\partial \dot{\chi }^{a}}\dot{\chi}^{a}+\mathcal{L}'\frac{\overleftarrow{\partial }}{\partial \left( \dot{\chi}^{a}\right) ^{\ast }}\left( \dot{\chi}^{a}\right) ^{\ast }- \mathcal{L}' = \frac{\mathrm{i}}{2}\chi ^{\dagger }\dot{\chi}^{a}-\frac{\mathrm{i}}{2} \chi _{a}\left( \dot{\chi}^{a}\right) ^{\ast }-\mathcal{L}'.$$

Обратите внимание, что знак минус второго члена возникает из-за прохождения производной справа с использованием антикоммутативности. В отличие от предыдущего случая, здесь$\mathcal{H}'$не будет содержать производных по времени только в том случае, если для второго члена соотношение$\frac{\mathrm{i}}{2} \chi _{a}\left( \dot{\chi}^{a}\right) ^{\ast } = -\frac{\mathrm{i}}{2} \left( \dot{\chi}^{a}\right) ^{\ast } \chi _{a}$применены.

На классическом уровне, где компоненты$\chi$являются грассмановозначными,$\chi$будучи спинорным полем, такое соотношение, конечно, полностью справедливо, но мне было бы удобнее, если бы производные по времени легко выпадали. Это возможно? А если утвердительно, то как следует модифицировать приведенный выше анзац для преобразования Леграндра?