Как лагранжиан с дельта-потенциалом преобразуется в гамильтониан?

Question

Как лагранжиан с дельта-потенциалом преобразуется в гамильтониан?

хабдакс

Предположим, что лагранжиан был задан как:

\begin{matrix} (1) & л "=" \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{\infty} \underset{"=" л}{\underset{⏟}{(\dot{А (} г)^{2} - А (г)^{2}) + (\dot{Вопрос (} г)^{2} дельта (г) - Вопрос (г)^{2} дельта (г)) + 2 \dot{Вопрос (} г) \cdot А (г) дельта (г)}} д г \end{matrix}

$L = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} \underbrace{\left(\dot{A(}z)^2-A(z)^2\right)+\left(\dot{Q(}z)^2\delta(z)-Q(z)^2\delta(z)\right)+2\dot{Q(}z)\cdot A(z) \delta(z)}_{= \mathcal{L}} \,\,\,dz\tag{1}$

где Q локализован в $0$ . Вышеупомянутое в основном представляет собой два гармонических осциллятора, которые связаны друг с другом в последнем члене. Теперь, если бы я захотел преобразовать Лежандра, чтобы получить гамильтониан, я бы не знал, что делать с дельта-функцией Дирака.

Сопряженный импульс для A(z) довольно прост:

\begin{matrix} (2) & п_{А} "=" \frac{\partial л}{\partial \dot{А} (г)} "=" \dot{А} (г) \end{matrix}

$P_A = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{A\,}(z)} = \dot{A\,}(z)\tag{2}$

но как мне быть с другим сопряженным импульсом $P_Q$ ? Будет ли это

\begin{matrix} (3) & п_{Вопрос} "=" \frac{\partial л}{\partial \dot{Вопрос} (г)} "=" \dot{Вопрос} (г) дельта (г) + А (г) дельта (г) \end{matrix}

$P_Q = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q\,}(z)} = \dot{Q\,}(z)\delta(z)+A(z)\delta(z)\tag{3}$

или

\begin{matrix} (4) & п_{Вопрос} "=" \frac{\partial л}{\partial (\dot{Вопрос} (г) дельта (г))} "=" \dot{Вопрос} (г) + А (г) . \end{matrix}

$P_Q = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\dot{Q\,}(z)\delta(z))} = \dot{Q\,}(z)+A(z).\tag{4}$

У меня возникают проблемы с использованием первого, но второй не кажется правильным.

лалала

3 в основном правильно, и вы сталкиваетесь с проблемой, потому что при z=0 PQ(z) равно нулю, а скорость не может быть выражена через импульсы. Это называется ограничением первого класса. Вы должны проверить, совместимо ли ограничение с гамильтонианом

Ответы (1)

Как лагранжиан с дельта-потенциалом преобразуется в гамильтониан?

3 в основном правильно, и вы сталкиваетесь с проблемой, потому что при z=0 PQ(z) равно нулю, а скорость не может быть выражена через импульсы. Это называется ограничением первого класса. Вы должны проверить, совместимо ли ограничение с гамильтонианом

Qмеханик · Answer 1

Лагранжева формулировка. Хитрость заключается в том, чтобы оценить лагранжиан этого OP
$\begin{matrix} (А) & л "=" \frac{1}{2} \int_{р} д г (\dot{А} (г)^{2} - А (г)^{2}) + \frac{1}{2} (\dot{Вопрос} (0)^{2} - Вопрос (0)^{2}) + \dot{Вопрос} (0) А (0) \end{matrix}$ $L ~=~ \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}} \! dz ( \dot{A}(z)^2 -A(z)^2) ~+~ \frac{1}{2}( \dot{Q}(0)^2 -Q(0)^2)~+~ \dot{Q}(0) A(0) \tag{A}$ представляет собой комбинацию объемной теории в $A$ -сектор и граничная теория в $Q$ -сектора (скажем, живущие на бране, расположенной в $z=0$ ).
Уравнения Эйлера-Лагранжа (EL) . Объемный EL экв. является
$\begin{matrix} (Б) & \ddot{А} (г) + А (г) \approx + дельта (г) \dot{Вопрос} (0), \end{matrix}$ $\ddot{A}(z)+A(z)~\approx~+\delta(z)\dot{Q}(0), \tag{B}$ в то время как граница EL ур. является $\begin{matrix} (С) & \ddot{Вопрос} (0) + Вопрос (0) \approx - \dot{А} (0) . \end{matrix}$ $\ddot{Q}(0)+Q(0)~\approx~-\dot{A}(0). \tag{C}$ Если предположить, что объемное поле $A(z)$ непрерывен без $\delta(z)$ -взносы, то ур. (B) подразумевает, что $\dot{Q}(0)\approx 0$ . уравнение (C) тогда следует, что $\ddot{A}(0)\approx 0$ . уравнение (B) тогда подразумевает, что $A(0)\approx 0$ . уравнение (C) тогда следует, что $Q(0)\approx 0$ . В заключение: два гармонических осциллятора $A$ и $Q$ расцепляются, и амплитуды обращаются в нуль при $z=0$ .
Момента. Объемный импульс
$\begin{matrix} (Д) & п_{А} (г) "=" \frac{дельта л}{дельта \dot{А} (г)} "=" \dot{А} (г), \end{matrix}$ $P_A(z)~=~\frac{\delta L}{\delta \dot{A}(z)}~=~\dot{A}(z), \tag{D}$ а граничный импульс равен $\begin{matrix} (Е) & п_{Вопрос} (0) "=" \frac{\partial л}{\partial \dot{Вопрос} (0)} "=" \dot{Вопрос} (0) + А (0) . \end{matrix}$ $P_Q(0)~=~\frac{\partial L}{\partial \dot{Q}(0)}~=~ \dot{Q}(0)+A(0).\tag{E}$
Гамильтонова формулировка. Гамильтониан приобретает объем и граничную часть
$\begin{matrix} (Ф) & \begin{aligned} ЧАС & "=" \int_{р} д г п_{А} (г) \dot{А} (г) + п_{Вопрос} (0) \dot{Вопрос} (0) - л \\ "=" \frac{1}{2} \int_{р} д г (п_{А} (г)^{2} + А (г)^{2}) + \frac{1}{2} ((п_{Вопрос} (0) - А (0))^{2} + Вопрос (0)^{2}) . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} H ~&=~ \int_{\mathbb{R}} \! dz ~ P_{A}(z)\dot{A}(z)~+~P_Q(0)\dot{Q}(0)~-~L\cr~&=~\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}} \! dz ( P_{A}(z)^2 +A(z)^2) ~+~ \frac{1}{2}( (P_Q(0)-A(0))^2 +Q(0)^2). \end{align}\tag{F}$

Проблема, над которой я работаю, явно требует диагонализации приведенного выше гамильтониана. Идея состоит в том, чтобы расширить $(P_Q(0)-A(0))^2$ срок и получить два вреда. колебаться. и один член связи: $\frac{1}{2} \int_{р} д г [п_{А} (г)^{2} + А (г)^{2} + А (г)^{2} дельта (г)] + \frac{1}{2} (п_{Вопрос} (0)^{2} + Вопрос (0)^{2}) + п_{Вопрос} (0) \cdot А (0)$ $\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}} \! dz \left[P_{A}(z)^2 +A(z)^2+A(z)^2\delta(z)\right] ~+~ \frac{1}{2}( P_Q(0)^2 +Q(0)^2) ~+~ P_Q(0)\cdot A(0)$ Я знаю, как диагонализовать два хо и член связи. Проблема, однако, в том, $A(z)^2+A(z)^2\delta(z)$ . Я хотел бы как-то сложить их и переопределить A(z). Могу ли я сделать это, определив A(z) чем-то, что с самого начала отменяет дельта-функцию?

Как лагранжиан с дельта-потенциалом преобразуется в гамильтониан?

хабдакс

лалала

Ответы (1)

Qмеханик

хабдакс

Канонический формализм в координатах светового конуса

Построение лагранжиана из гамильтониана для майорановских фермионов

Почему мы используем уравнение Эйлера-Лагранжа для квантовых полей?

Вопрос о выводе лагранжиана 1-го порядка в формализме Фаддеева-Жаккова

Различные определения функциональной производной

Ограничения уравнений гамильтоновых полей

Какие поля могут естественным образом сочетаться с калибровочными полями в форме ppp в лагранжиане?

Помимо гамильтоновой и лагранжевой механики

Должен ли классический лагранжиан или гамильтониан быть реальной функцией?

Что делает уравнение «уравнением движения»?