Числа Грассмана в двойственном пространстве

Я читаю раздел о числах Грассмана в КТП для одаренных любителей, и меня смущает то, что там сказано: во-первых, они определяют когерентное состояние для фермионов.$\rvert \eta \rangle$как

$$\begin{align} \rvert \eta \rangle &= e^{-\eta \hat{c}^\dagger} \rvert 0 \rangle \\ &= \rvert 0 \rangle - \eta \rvert 1 \rangle \tag{28.12} \end{align}$$ где $c^{\dagger}$является оператором рождения фермионов и $\eta$является числом Грассмана. Также, $$\hat{c}\rvert \eta \rangle = \eta \rvert \eta \rangle.$$ Теперь вот часть, которая меня смущает:

Мы также можем определить состояние$\langle\bar{\eta} \lvert \hat{c}^{\dagger} = \langle \bar{\eta} \lvert \bar{\eta}$где

$$\langle \bar{\eta} \lvert = \langle 0 \lvert - \langle 1 \lvert \bar{\eta} = \langle 0 \lvert + \bar{\eta} \langle 1 \lvert. \tag{28.15}$$ Обратите внимание, что $\bar{\eta}$не является комплексным сопряжением $\eta$и $\langle \bar{\eta} \lvert$не является примыканием к $\rvert \eta \rangle$. Из этих определений следует, что стоимость внутреннего продукта равна $$\langle \bar{\zeta} \lvert \eta \rangle = e^{\bar{\zeta}\eta}. \tag{28.16}$$

Здесь$\eta$и$\zeta$обе являются переменными Грассмана. Мой вопрос в том, что именно$\bar{\eta}$? Это, вероятно, не какое-то причудливое обозначение книги, поскольку в главе 21 своей книги по КМ Шанкар также использует то же самое обозначение, а также подчеркивает, что он говорит не о сложном сопряжении.

Я чувствую, что тот факт, что это отличается от комплексного сопряжения, подчеркивается просто для того, чтобы сделать кристально ясным, что числа Грассмана не являются ни действительными числами, ни комплексными числами, поэтому нет четко определенного способа их комплексного сопряжения или присоединения к их кетам. . Но затем в других учебниках, таких как книга Средненицкого по КТП, я встречал упоминания о комплексных сопряженных числах Грассмана, что кажется недопустимым согласно КТП для одаренных любителей и Шанкара. Может ли кто-нибудь прояснить различие между числами и состояниями Грассмана с перемычкой и без нее? Является ли запись внутреннего продукта Грассмана в этой нотации скобки просто подсказкой для определения внутреннего продукта?