Численное моделирование эксперимента с двумя щелями, включая наблюдение за электронами

Я вытащу свои замечания из ( теперь перенесенной ) ветки комментариев, так как это еще не решено должным образом. Чтобы ответить на ваш главный вопрос,

был ли этот «мысленный эксперимент» смоделирован путем численного решения основного уравнения Шрёдингера?

Я бы сказал:

• точное моделирование, которое вы предлагаете (или его близкие варианты), вероятно, было выполнено в какой-то момент (возможно, в нескольких точках, несколькими людьми);
• это, вероятно, не было опубликовано;
• если она и будет опубликована, она не станет особенно интересной статьей; а также
• если она не была опубликована, это гора задач, чтобы достоверно показать, что такой статьи нет в литературе.

Причина вышеизложенного в том, что предлагаемая вами симуляция не очень интересна . Вы говорите, что

Его интерес может заключаться, в частности, в том, чтобы лучше понять, каким именно образом наблюдение постепенно становится недействительным, когда длина волны фотона увеличивается.

но это не так: все, что может показать нам такое моделирование, мы уже понимаем .

Со времен фон Неймана хорошо известно, что в рамках формальной унитарной квантовой механики эффект измерений должен вызвать запутанность: если система находится в суперпозиции$|A=1\rangle$а также$|A=2\rangle$, дескать, а ты меряешь$\hat A$, с некоторым детектором, который идет к$\left|\uparrow\right>$на$A=1$и к$\left|\downarrow\right>$на$A=2$, то, что вы действительно генерируете, является суперпозицией

$$|\Psi\rangle = \alpha \left|A=1\right>\left|\uparrow\right> + \beta \left|A=2\right>\left|\downarrow\right>,$$ т.е. запутанное состояние между системой и детектором. Это состояние больше не может показывать интерференцию, потому что если вы возьмете внутренний продукт между двумя компонентами, т.е. если вы сделаете $$\bigg< \left|A=1\right>\left|\uparrow\right> ,\, \left|A=2\right>\left|\downarrow\right> \bigg> = \left<A=1|A=2\right> \left<\uparrow\middle|\downarrow\right> = 0$$ вы получаете ноль, потому что состояния детектора ортогональны. Это полностью убивает любую возможность интерференции, но волновая функция не «схлопнулась» (пока); если вы выполняете проективное измерение на детекторе (заставляя его волновую функцию «коллапсировать», что бы это ни значило), это также распространяется на систему, но является внешним по отношению к симуляции.

Позвольте мне еще раз подчеркнуть: все, что вы могли бы смоделировать, придерживаясь единой квантовой механики, полностью соответствовало бы приведенной выше схеме и не добавило бы к нашему пониманию мысленного эксперимента.

Если вы хотите, чтобы ваша симуляция включала некоторую форму «коллапса» волновой функции (или декогеренции, или как вы хотите это назвать), т. е. если вы хотите, чтобы ваша симуляция на самом деле говорила что-то полезное о проблеме измерения, тогда вам понадобится чтобы решить, как вы обрабатываете информацию, закодированную в вашем детекторе направления, и здесь ваша схема идет наперекосяк: чтобы смоделировать что-либо вообще, вам, по сути, необходимо предварительно запечь какое-то решение проблемы измерения в вашу симуляцию. Какие бы результаты вы ни получили, это будет просто переформулировка предпосылок, которые вы вводите, и будет зависеть от всех недостатков предпосылок.

Учитывая это, все, что может дать такое моделирование, — это очень дорогое средство визуализации процессов, которые уже могут быть поняты аналитически и для которых основная трудность носит концептуальный характер. Создание средств визуализации не лишено достоинств, но это мало что даст для решения истинных концептуальных проблем проблемы измерения, которые гораздо больше связаны с тем, что означают проективные измерения, чем с фотонами и двойными щелями.

Потеря интерференции происходит не из-за коллапса, потому что коллапс — это миф.

Потеря интерференции может быть смоделирована квантово-механическими моделями, которые включают взаимодействие, передающее информацию об измеряемой системе, что вызывает декогерентность. Эти статьи посвящены не конкретно декогеренции в электронах, а декогеренции в общих экспериментах типа с двумя щелями.

https://arxiv.org/abs/1606.09442

https://arxiv.org/abs/quant-ph/0310095

Имеются работы о дехогеренции электронов именно в электронных интерферометрах Маха-Цендера. Вот пара образцов очень большой литературы по теме:

https://arxiv.org/abs/0801.2338

https://arxiv.org/abs/1105.2587

Эффект, описанный Фейнманом, не рассчитывается с использованием уравнения Шредингера. Вместо этого это результат «коллапса волновой функции», который является результатом измерения положения электрона. Коллапс — это отдельный постулат, который нельзя вывести из уравнения Шрёдингера. Во всяком случае, это стандартная копенгагенская интерпретация.

Эверетт в своей статье «Относительное состояние» показал, что на самом деле его можно вывести из уравнения Шредингера, хотя вы должны включить наблюдателя в свое волновое уравнение. Это приводит к многомировой интерпретации квантовой механики.

То, о чем здесь говорит Фейнман, — это коллапс волновой функции, происходящий из-за измерения.

Предположим, вы направляете поток электронов на пластину с двумя щелями, но не наблюдаете, через какую щель проходит каждый электрон. В этой ситуации говорят, что каждый электрон проходит через верхнюю и нижнюю щели, что приводит к интерференционной картине на экране.

Теперь предположим, что вы наблюдаете путь каждого электрона, фактически не нарушая его состояния (что на самом деле невозможно, но потерпите меня здесь). В этом случае можно точно сказать, какой электрон прошел через какую из щелей, и наблюдать на экране две стопки электронов.

Итак, я опоздал с пуншем примерно на 6 лет, но вот установка для вычислительного эксперимента. Я хотел бы закодировать это когда-нибудь, когда у меня будет достаточно времени, это вполне выполнимо.

Теория

У вас есть два гильбертовых пространства, одно из которых представляет собой обычные волновые функции.$\psi(x,y)\in\mathcal{H}_x$, и тот, который является вашим детектором, который говорит, прошла ли частица через левую или правую щель. Скажем, ваш детектор запускается в состоянии$(|L\rangle+|R\rangle)/\sqrt{2}$: 50% наложение левой и правой щелей. Я буду обозначать это гильбертово пространство$\mathcal{H}_d=\operatorname{span}(|L\rangle,|R\rangle)$

Пространство тензорного произведения частицы и детектора будет описываться функцией$\psi(x,y,d)$куда$d$один из$L$или же$R$. Так, например, если бы у нас был наш первоначальный волновой пакет нашего электрона как$\psi_0(x,y)$и состояние детектора 50/50 выше, наша начальная полная волновая функция будет$\psi(x,y,L)=\frac{1}{\sqrt{2}}\psi_0(x,y)$а также$\psi(x,y,R)=\frac{1}{\sqrt{2}}\psi_0(x,y)$.

Для гамильтониана потенциальный барьер действует как потенциал на$\mathcal{H}_x$и как тождество на$\mathcal{H}_d$. Итак, у нас есть$V(x,y)$который бесконечен, за исключением двух вырезанных блоков: щелей. Я напишу личность на$\mathcal{H}_d$в качестве$\mathbf{1}_d$.

Для моделирования обнаружения частиц можно использовать тестовую функцию$h(x,y)$который$1$внутри левой щели,$-1$внутри правой щели и$0$в другом месте. Если частица обнаружена, мы хотим переместить амплитуду для обнаружения в правильное состояние$|L\rangle$или же$|R\rangle$, поэтому мы должны добавить термин, например, Паули$\sigma_y$матрица*. Полный гамильтониан будет выглядеть так:

$$H=(p_x^2+p_y^2+V(x,y))\otimes \mathbf{1}_d + I h(x,y)\otimes \sigma_y$$

Где$I$является силой взаимодействия.

Моделирование

Для численного моделирования это превращается в следующее УЧП ($m=\hbar=1$ВЛОГ):

$$\begin{align*} i \partial_t \psi(x,y,L,t)&=(-\frac{1}{2}\partial_x^2-\frac{1}{2}\partial_y^2+V(x,y))\psi(x,y,L,t) -i I h(x,y)\psi(x,y,R,t)\\ i \partial_t \psi(x,y,R,t)&=(-\frac{1}{2}\partial_x^2-\frac{1}{2}\partial_y^2+V(x,y))\psi(x,y,R,t) +i I h(x,y)\psi(x,y,L,t) \end{align*}$$

Вы в основном моделируете две отдельные волновые функции, одну для$L$и один для$R$, но срок$I$могут смешивать две волновые функции и будут делать это таким образом, что будет нарушаться интерференция. Если$\psi(x,y,L)$нанесен синим цветом и$\psi(x,y,R)$выделено красным цветом, то для$I=0$мы видим фиолетовый узор, показывающий интерференцию. За$I$настроен на хорошее значение, мы увидим исчезновение интерференционной картины и сине-фиолетово-красную выпуклость без отображения интерференционной картины.

Комментарий к взаимодействиям

Обычное возражение (также упомянутое у Фейнмана) заключается в том, что «ну, мы включаем взаимодействие$I$, неудивительно, что это искажает волновую функцию». Дело в том, что нет никакого способа получить информацию о местоположении из гильбертова пространства частицы.$\mathcal{H}_x$и в гильбертово пространство детектора$\mathcal{H}_d$без разрушения интерференционной картины. Нет, нада, пшик.

---

*Я выбираю$\sigma_y$потому что я знаю, что это приведет к тому, что состояния будут развиваться, как$e^{-i H t}$, а также$-i \sigma_y t$является$t\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$, которая представляет собой матрицу вращения, и мне ее легче визуализировать.

При создании «мысленного эксперимента» основная проблема состоит в том, чтобы создать условия, описывающие реалистичную установку. Так называемый «парадокс конденсаторов» Парадокс с участием двух конденсаторов возникает только потому, что соединение не имеет индуктивности.

Итак, какова установка двухщелевого эксперимента с электронами: кинетическая энергия влетающего электрона составляет около 50 кэВ. Ширина щели около 0,5 мкм, расстояние 2 мкм. Оригинальная статья: https://www.leifiphysik.de/quantenphysik/quantenobjekt-elektron/geschichte/originalarbeit-von-joensson показывает отношения и трудности.

Так как получить паттерн крайне сложно, то и уничтожить его чрезвычайно просто. Но это не объясняет, почему шаблон существует.

Как писал Йонссон: должна быть щель (в оптике подойдет решетка на прозрачном), поскольку ни один материальный объект не покрыт электронами, и действительно: входящие электроны видят только море электронов и две области без электронов. В классическом мире каждый электрон просто пройдет через одну щель (если не отразится), и мы не увидим интерференции.

В квантовом мире взаимодействие между двумя электронами квантуется. И теперь мы можем видеть два случая:

Влетающий электрон взаимодействует с одним электроном в море и проходит через щель. Он появится в определенном месте. На положение морского электрона влияют все окружающие электроны, поэтому геометрия щелей будет отражаться в средних целевых точках на экране детектора. Итак, мы видим интерференцию между двумя электронами в соответствии с правилами квантовой механики. Тогда многие электроны в среднем будут демонстрировать интерференционную картину.

Второй случай: мы видим море электронов как сконденсированное целое, которое приводит к одной единственной сложной волновой функции, и интерференция входящего электрона с этой волновой функцией создает паттерн.

Однако: есть принципиальная разница между макроскопической интерференцией (где волна — это просто аналоговая волна) и микроскопической интерференцией (где волна строится из элементарных волновых частиц). И мы не должны забывать, что эксперимент с двумя щелями удивителен только тогда, когда он не связан с квантованным взаимодействием между частицами. Только интегрирующее свойство экрана составляет картину из событий. Делать статистику по отдельным событиям совсем не лучшая идея.

Теперь, когда я подумал, что складывающиеся волновые функции включают преобразование Фурье, я погуглил «преобразование Фурье с двойной щелью» и получил это: https://www.thefouriertransform.com/applications/diffraction3.php

Это делает двойную щель полностью прозрачной ;-). Все электроны, которые создают пространственное распределение, по-видимому, двойную щель, образуют волновую функцию, которая, в свою очередь, сложенная с дельта-функцией «электрон», дает точно ft одной двойной щели. По крайней мере, насколько я могу проследить.

«Мысленный эксперимент» с двумя щелями… состоит в том, что электроны выстреливаются через двойную щель… и наблюдают за ними после прохождения щелей с помощью источника света, расположенного за двойной щелью…

Обобщая это, говорят, что любое взаимодействие с электроном изменяет его прямую траекторию движения.

Поскольку электрические заряды рассеивают свет, можно «обнаружить», через какую щель прошел электрон...

Что еще может отклонить электроны от их пути? На движущиеся электроны может влиять электромагнитное излучение, а также электрические и магнитные поля. Для магнитных полей это описывается силой Лоренца. Упомянутое вами «Численное моделирование интерференции двух щелей с ультрахолодными атомами» состоит из множества расчетов до щелей и за щелями . А как быть с расчетами взаимодействия электронов со щелью или с краями щели ?

Странно, что должно быть или, лучше сказать, есть взаимодействие между движущимися сквозь щели частицами и краями щелей, но это взаимодействие не является предметом рассмотрения.

Просто мои два цента, это должно быть рассчитано взаимодействие между движущимися частицами и магнитными и электрическими полями поверхностных электронов (острых) краев. Тогда можно было бы легко объяснить, что распределение интенсивности происходит даже за одиночными (острыми) краями и даже во времени с движущимися одна за другой частицами.

Численное моделирование эксперимента с двумя щелями, включая наблюдение за электронами...

... в их взаимодействии со щелью кажется правильным способом положить конец бесконечным обсуждениям экспериментов с двумя щелями.