Вывод преобразования Лоренца

Я не буду выводить преобразование (это было сделано в бесчисленных книгах и статьях, я уверен, что вы можете найти их сами), а вместо этого попытаюсь объяснить, почему предложенная вами формула не может быть правильной.

Для начала заметьте, что, поскольку вы не касаетесь$y$и$z$, мы могли бы также работать в измерениях 1+1. Кроме того, пусть$c=1$чтобы нас не беспокоили неважные константы (вы можете восстановить его в конце, потребовав, чтобы формулы имели правильные единицы измерения). Тогда полезно перепараметризовать преобразование следующим образом

$$x' = \gamma(x - vt) = \cosh \eta x - \sinh \eta t$$ $$t' = \gamma(t - vx) = -\sinh \eta x + \cosh \eta t$$ где мы ввели быстроту $\eta$к $\tanh \eta = v$а это согласно стандартным (гиперболическим) тригонометрическим тождествам влечет $\cosh \eta = \gamma = {1 \over \sqrt{1 - v^2}}$и $v \gamma = \sinh \eta$, так что эта репараметризация действительно правильная.

Теперь, надеюсь, это вам немного напоминает. В двумерной евклидовой плоскости мы имеем, что вращения вокруг начала координат имеют вид

$$x' = \cos \phi x + \sin \phi y$$ $$y' = -\sin \phi y + \cos \phi x$$ и это действительно не случайно. Повороты сохраняют длину вектора в евклидовой плоскости $x'^2 + y'^2 = x^2 + y^2$и аналогичным образом преобразования Лоренца сохраняют пространственно-временной интервал (который является нотианом длины в пространстве-времени Минковского) $x'^2 - t'^2 = x^2 - t^2.$Вы сами можете убедиться, что только указанное преобразование с гиперболическими синусами и косинусами может сохранить его и, следовательно, внесенное вами изменение испортит это важное свойство. Кроме того, если вы знакомы с такими явлениями, как относительность одновременности, можно также утверждать на физических основаниях, что предлагаемое вами изменение не может привести к физическим результатам.

Кстати, недавно был задан вопрос, похожий на ваш, а именно, как вывести, что преобразование является линейным исключительно из-за сохранения пространственно-временного интервала . Возможно, вы тоже захотите это проверить.

Вы должны посмотреть на этот ответ, потому что он сразу же выводит нужный вам термин. постулаты Эйнштейна$\leftrightarrow$Пространство Минковского для неспециалиста

Причина в том, что$t'=(t-vx)/\sqrt{1-v^2}$и не$t'=t/\sqrt{1-v^2}$(вы должны установить c=1, чтобы следовать чему-либо в теории относительности) просто — это нарушение одновременности на расстоянии. Координатные линии t=constant не могут оставаться горизонтальными на пространственно-временной диаграмме --- они должны быть наклонены вверх на ту же величину, на которую ось времени наклонена вправо. Остальные факторы можно понять, воспроизведя аргументы о замедлении времени и сокращении длины, но нарушение одновременности является наиболее важным неинтуитивным эффектом, и именно по этой причине он впервые обсуждается Эйнштейном в его статье.

Форма преобразования Лоренца должна быть противопоставлена ​​форме поворота координат x и y, так что координата x получает наклон m:

$$x' = { x+my \over\sqrt{1+m^2}}$$ $$y' = { y-mx \over\sqrt{1+m^2}}$$

или если вы используете разные единицы для x и y, скажем, x в дюймах и y в сантиметрах,

$$x' = { x + my \over \sqrt{1+{m^2\over c^2}} }$$ $$y' = {y - {mx\over c^2}\over \sqrt{1+{m^2\over c^2}} }$$

Где c — универсальная константа природы: равнобедренный наклон вправо, который представляет собой наклон равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами вдоль осей x и y. Его величина составляет 2,54 см/дюйм.

Я тоже когда-то боролся с этой проблемой. Итак, вот ответ полностью интуитивный. Очевидно, это связано с относительностью одновременности. Теперь в движущейся системе координат, если два события одновременны для движущегося человека, не делайте их одновременными для вас. Если вы проведете расчеты, вы увидите, что существует разница во времени$(vx/c^2)\gamma$, где событие, находящееся дальше по направлению движения, происходит позже на эту большую разницу во времени в системе покоя. Так вы добавляете этот коэффициент ко времени часов наблюдателя в случае того, что человек движется по положительной стороне вашего начала координат пространства-времени.

Теперь, почему отрицательный знак в обратном преобразовании, оказывается, это взаимосвязь выбора правой системы координат или утверждения, что все наблюдатели, даже те, которые движутся в противоположном направлении, должны приписывать одну и ту же сторону начала координат как положительную. в их системах координат. Это было неявно сделано даже в галилеевы дни, когда вы решали простые задачи кинематики.

Теперь то, что происходит в случае отрицательной скорости, если вы присваиваете координаты событиям, то та, которая дальше по вашему направлению движения, теперь тоже будет отрицательной. Следовательно, координата «x» будет отрицательной, и скорость также будет отрицательной, а два отрицательных значения дают положительное значение. Таким образом, это снова приводит к добавлению дополнительного времени для события, поскольку такт часов произошел раньше, чем событие, которое вы записывали.

Все это можно пересчитать, если хорошенько подумать о двух симулятивных событиях в движущейся системе отсчета. Надеюсь, это прояснит ситуацию.

Очевидно, что вывести уравнения преобразования Лоренца можно с помощью математического подхода, но понимание, таким образом, все еще может быть доступно вам, поскольку математика является внешним инструментом, внешним по отношению к разуму.

Логический анализ движения вскоре дает геометрическое представление движения, которое вскоре дает полный набор уравнений, связанных с СТО. Это, конечно, включает в себя уравнения преобразования Лоренца и их полное понимание.

http://www.youtube.com/watch?v=KKAwpEetJ-Q&list=PL3zkZRUI2IyBFAowlUivFbeBh-Mq7HdoQ

Если у вас есть время посмотреть приведенный выше плейлист (9 коротких видеороликов общей продолжительностью около 1 1/2 часа), вы уже никогда не увидите Специальную теорию относительности Эйнштейна прежней. Плейлист из 9 видео также можно найти на YouTube с помощью поиска «KSP Special Relativity».

Вы сказали: «Я смог решить все, кроме$-(v/c^2)x$в$t^{\prime}$уравнение.». Эта часть уравнения становится кристально ясной в видеороликах. Короче говоря, если бы космический корабль находился в абсолютном покое в космосе, он распространялся бы только в пространстве, но он находится в движении во времени во времени. скорость света Таким образом, находясь в 4-мерной среде, известной как пространство-время, его текущее направление движения находится только во времени.

Однако, если космический корабль теперь меняет направление своего движения в Пространстве-Времени, происходит вращение, движение в пространстве и меньшее движение во временном измерении. Таким образом, время замедляется, и из-за вращения космический корабль начинает меньше простираться в пространстве теперь, когда он начинает частично простираться и во временном измерении.

Таким образом, мы сталкиваемся с пространственным сжатием и замедлением времени.

Но следует отметить, что космический корабль теперь частично расширяется во времени, поэтому часы в задней части космического корабля больше не синхронизированы с часами, расположенными в передней части космического корабля, поскольку оба они больше не расположены. в тот же момент времени. Таким образом, эти смещения часов включены в общее изменение наших измерительных приборов.

Таким образом, линейки сокращаются в длину, оба часа замедляются, и двое часов не синхронизированы.

Таким образом$-(v/c^2)x$в$t^{\prime}$Уравнение касается смещения часов, которое происходит из-за вращения.