Как вывести пространственно-временной интервал из преобразования Лоренца?

Я не знаю, какой вывод формы инвариантного пространственно-временного интервала$\Rightarrow$Вы имеете в виду преобразование Лоренца, но все самые простые выводы делают выводы, которые являются выводами «если и только если», т. е. цепочка рассуждений и выводов может выполняться в обоих направлениях .

Например, записав преобразование Лоренца в виде общего$4\times4$матрица вещественных элементов$\Lambda$действующий на$4\times1$столбцы реальных элементов, представляющие 4-векторы$X\in \mathbb{R}^{1+3}$, то утверждение инвариантности пространственно-временного интервала:

$$X^T\,\Lambda^T\,\eta\,\Lambda\,X\, = X^T\,\eta\,X;\quad\forall X\in\mathbb{R}^{1+3}\tag{1}$$

где, естественно,$\eta=\mathrm{diag}(1,\,-1,\,-1,\,-1)$. Теперь выберите два вообще разных$X,\,Y\in\mathbb{R}^{1+3}$и запишем (1) для суммы$X+Y$: то есть$(X+Y)^T\,\Lambda^T\,\eta\,\Lambda\,(X+Y)\, = (X+Y)^T\,\eta\,(X+Y)$, разверните этого маленького зверя, а затем снова примените (1), чтобы показать, что (1) подразумевает:

$$X^T\,\Lambda^T\,\eta\,\Lambda\,Y = X^T\,\eta\,Y;\quad\forall X,\,Y\in\mathbb{R}^{1+3}\tag{2}$$

Теперь выберите шестнадцать различных комбинаций обычных базисных векторов для$X$и$Y$и таким образом показываете (свидетельствуя, что$\eta$неособа, т. е. определяет невырожденную биллинейную форму):

$$\Lambda^T\,\eta\,\Lambda = \eta\quad\tag{3}$$

(3) тривиально влечет (1), поэтому (3) и утверждение пространственно-временного интервала логически эквивалентны. Они подразумевают и подразумеваются друг другом.

Теперь я и я полагаю, что многие люди считают (3) определением преобразования Лоренца: его использование в нотации построителя множеств дает нам полную характеристику группы Лоренца. Но вы можете захотеть поработать с другими характеристиками группы Лоренца или, возможно, с особой группой Лоренца (правильными, ортохронными). Вы можете тривиально проверить, что буст в$x$направление удовлетворяет (3), таким образом, по нашей логической эквивалентности, оставляет инвариантным пространственно-временной интервал. Аналогично, сделайте то же самое для поворота$R$, для которого (3) эквивалентно$R^T\,R=\mathrm{id}$. Таким образом, если вы определяете правильную ортохронную группу Лоренца как наименьшую группу, содержащую$x$бустом и вращениями, т.е. как группа всех конечных произведений вида$U_{1}\,R_{1}\,U_2\,R_2\,\cdots$где$U_i$и$R_i$все$x$-бустов и вращений соответственно и индуктивно применить (3) к такой цепочке, можно показать, что эта группа сохраняет пространственно-временной интервал. Заметим, что буст в любом направлении можно записать в виде$R\,U\,R^T$, где$U$является$x$-увеличение и$R$ротация.

Итак, мы принимаем это как данное, зная, что преобразования среди кадров, которые нам разрешено проходить, являются преобразованиями Лоренца. Наиболее кратким и содержательным определением преобразований Лоренца было бы следующее:

$$\Lambda ^{T}\eta\Lambda=\eta$$ Или, в обозначении индекса, $$\Lambda^{\alpha'}_{\mu}\Lambda^{\beta'}_{\nu}\eta_{\alpha'\beta'}=\eta_{\mu\nu}$$ Теперь убедитесь, что вы понимаете, что мы лечим матрицу $\eta$(независимо от того, записаны ли они в простой матричной форме или в виде индекса) просто как матрица. Мы не претендуем на априорное знание того, что она действует как метрика. Но скорее мы сейчас объясним, почему было бы разумно использовать его в качестве метрики и (таким образом) определить интервал как $\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$.

Первый шаг состоит в том, чтобы заметить, что матрица$\eta$(просто определяется как диагональная матрица с элементами$1,-1,-1,-1$) действительно является тензором относительно преобразований Лоренца. Это можно непосредственно прочитать из самого определения преобразований Лоренца, когда определение выражено в обозначении индекса, как указано выше.

Теперь, когда мы признали, что$\eta$действительно$(0,2)$тензор, используя определение$(0,2)$тензора, мы должны понимать, что это та самая карта, которая переводит пару векторов в действительное число (или, другими словами, скаляр — инвариантную относительно репера величину). Таким образом, наиболее естественным способом построения репер-инвариантной величины по вектору смещения$\vec{dx}$будет подавать этот вектор в оба слота тензора$\eta$и определить результат как пространственно-временной интервал. То есть определить

$$I=\eta(\vec{dx},\vec{dx})=\eta_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$$ как пространственно-временной интервал.

Конечно, если кто-то настаивает, то можно возразить, что это всего лишь мотивация для определения пространственно-временного интервала как$dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$и больше ничего. И это правда. Потому что, в конце концов, мы что-то определяем, и нет слова Божия о том, как мы должны что-то определять! Просто, если мы видим в какой-то вещи очень полезное свойство, мы даем ей какое-то имя. То же верно и для пространственно-временного интервала. Наблюдение, что$dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$является инвариантным, и поэтому мы называем его пространственно-временным интервалом. Это суть. Я попытался показать здесь, как можно очень легко наткнуться на это наблюдение, если уже имеется в виду, что она ищет некоторую инвариантную величину.