Проблема вывода преобразования Лоренца из однородности и изотропии пространства-времени и принципа относительности

Я пытаюсь понять шаг в выводе преобразования Лоренца, который мой профессор дал в классе. Мы начинаем предполагать однородность и изотропность 4-мерного пространства-времени, а затем рассматриваем две инерциальные системы отсчета. С и С ′ , с С ′ движущийся со скоростью в вдоль Икс -ось С . Мы также предполагаем, что С и С ′ имеют параллельные оси и их начало совпадает во времени т "=" 0 в С . Таким образом, общее преобразование между координатами С и С ′ соответственно,

т → т ′ "=" Т ( т , Икс , у , г , в ) Икс → Икс ′ "=" Икс ( т , Икс , у , г , в ) у → у ′ "=" Д ( т , Икс , у , г , в ) г → г ′ "=" Z ( т , Икс , у , г , в )   .
Тогда, применяя однородность, мы находим, что преобразование должно быть линейным, так что
( т ′ Икс ′ у ′ г ′ ) "=" А ( в ) ( т Икс у г )   ,
где А ( в ) это 4 × 4 матрица. Используя принцип относительности, мы находим, что направления, перпендикулярные движению, не меняются, поэтому
А ( в ) "=" ( А 1 ( в ) А 2 ( в ) 0 1 )   ,
где А 1 ( в ) и А 2 ( в ) являются 2 × 2 матрицы и 0 "=" ( 0 0 0 0 ) , 1 "=" ( 1 0 0 1 ) . Теперь идет шаг, который я не понимаю, он говорит, что:

Из изотропии пространства следует, что А 2 ( в ) "=" 0

Может ли кто-нибудь помочь мне понять, как изотропия пространства имеет такое значение?

А ( в ) является повышением Икс направление.

Ответы (1)

У меня есть ощущение, что должна быть физическая причина того, что оба недиагональных элемента должны быть равны нулю, но я не могу сразу придумать ни одного. Однако есть еще один способ показать это:

Рассмотрим, например, точечную частицу, система покоя которой С ′ . Вам, наблюдатель, сидящий в С , эта частица будет удаляться вдоль вашего Икс ось. Теперь, что насчет у и г топоры? Ну, здесь они не должны иметь значения, так как эти направления ортогональны движению частицы. Другими словами, как только вы выбрали Икс ось должна быть вдоль направления движения частицы, у вас есть бесконечное количество у и г оси, которые могут быть выбраны - все связаны простым вращением вокруг Икс -ось -- все они должны давать одно и то же А ( в ) матрица. Это одно из предположений изотропии.

Предположим, вместо ( т , Икс , у , г ) ты использовал ( т , Икс , Д , Z ) , где Д и Z два разных взаимно перпендикулярных направления, которые также перпендикулярны Икс . Поскольку пространство изотропно, ваше определение у и г не должно влиять на вашу матрицу преобразования, и поэтому

( т ′ Икс ′ ) "=" А 1 ( в ) ( т Икс ) + А 2 ( в ) ( у г )

( т ′ Икс ′ ) "=" А 1 ( в ) ( т Икс ) + А 2 ( в ) ( Д Z )

Или

А 2 ( в ) ( у г ) "=" А 2 ( в ) ( Д Z )

Интуитивно должно быть понятно, что, поскольку Д и Z может быть любым возможным ортогональным набором (также ортогональным Икс ), это должно означать, что А 2 ( в ) "=" 0 , но если вы хотите быть немного более строгим, эти новые Д , Z оси можно получить из у , г поворотом на некоторый угол θ вокруг Икс ось и так

( Д Z ) "=" р ( θ ) ( у г ) ,
где р ( θ ) — обычная матрица вращения. Приведенное выше равенство означает, что для любого произвольного значения θ ,

А 2 ( в ) ( 1 − р ( θ ) ) "=" 0 .

С θ и в оба произвольны, должно быть, что А 2 ( в ) "=" 0 .

Итак, если А ( в ) это толчок в общем направлении, пространство уже не изотропно?
Я не совсем понимаю, преобразования Лоренца различают направление, параллельное бусту, и направление, перпендикулярное ему. Если бы ускорение было в общем направлении, то всегда можно было бы повернуть свою систему координат, чтобы она была вдоль этого направления, и назвать это Икс , и тот же аргумент, который я привел, будет справедлив. Я думаю, что точный аргумент можно было бы также привести в пользу общего преобразования, определив направление н ^ и два ортогональных базисных вектора Д , Z которые перпендикулярны н ^ ...
А ( в ) "=" [ γ − β Икс γ − β у γ − β г γ − β Икс γ 1 + β Икс 2 ( γ − 1 ) β 2 β Икс β у ( γ − 1 ) β 2 β Икс β г ( γ − 1 ) β 2 − β у γ β Икс β у ( γ − 1 ) β 2 1 + β у 2 ( γ − 1 ) β 2 β у β г ( γ − 1 ) β 2 − β г γ β Икс β г ( γ − 1 ) β 2 β у β г ( γ − 1 ) β 2 1 + β г 2 ( γ − 1 ) β 2 ]
Параметр β у "=" β г "=" 0 в А ( в ) выше будет генерировать OP А 1 ( в ) и А 2 ( в ) .
Да, преобразования Лоренца различают направление, параллельное бусту, и направление, перпендикулярное ему. Но есть 2 векторов, а именно, β → и р → - и нет причин, по которым векторы должны быть коллинеарными - кроме педагогических соображений.
Я согласен, но боюсь, я не совсем понимаю: в посте ОП предположение было не самым общим, а тем, в котором β был только рядом Икс . Есть ли что-то неправильное или вводящее в заблуждение в моем ответе?
Спасибо! Очень ясно!
@Philip: вам просто нужно быть осторожным при рассмотрении более одного повышения, поскольку два повышения создают вращение. И я не верю, что ОП может математически доказать, что пространство изотропно. Локально это можно вывести из сохранения линейного и углового момента. Но в общей теории относительности все не так просто — обычно предполагаются однородность и изотропность пространства и демонстрируется сохранение линейного и углового момента.
@Philip - на самом деле, я только что понял, что неправильно прочитал пост - ОП предполагает изотропию пространства - мой плохой. В этом случае я полагаю, что ОП просто не понял, когда усиление находится в Икс направлении, плоскость наддува т − Икс - и это не включает другие координаты. Ты был прав.
Проблема вывода преобразования Лоренца из однородности и изотропии пространства-времени и принципа относительности
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v