Являются ли преобразования Лоренца линейными преобразованиями? [дубликат]

Пространство Минковского — реальное аффинное пространство размерности$4$пространство трансляций которого снабжено метрикой лоренцевского типа.

(Вещественное) аффинное пространство — это тройка$(\mathbb A, V, \vec{})$, где$\mathbb A$есть множество, элементами которого являются указанные точки ,$V$является (действительным) векторным пространством и$\vec{}$это карта$\vec{} : \mathbb A \times \mathbb A \to V$со следующими свойствами,

$$\forall q \in \mathbb A\:, \forall v \in V\:, \exists \mbox{ and is unique } p \in \mathbb A\quad \mbox{such that}\quad \vec{qp} = v\:,\tag{1}$$

$$\vec{pq} + \vec{qr} = \vec{pr}\quad \forall p, q,r \in \mathbb A\:.\tag{2}$$

по определению размерность аффинного пространства равна$V$, элементами которого являются указанные переводы .

Отныне, если$p,q\in \mathbb A$а$v \in V$,

$$p= q+ v$$

означает

$$\vec{qp}=v\:.$$

В форме (1) это обозначение корректно.$q+v$это действие перевода$v$в точку$q$. Это действие транзитивно и свободно, его существование физически соответствует однородности как пространства, так и времени в специальной теории относительности.

При условии, что$V$конечномерна, если зафиксировать$o \in \mathbb A$и основа$e_1,\ldots, e_n \in V$, декартова система координат на аффинном пространстве$\mathbb A$ с происхождением$o$и топоры$e_1,\ldots, e_n$биективная карта

$$\mathbb R^n \ni (x^1,\ldots, x^n) \mapsto o + \sum_{j=1}^n x^je_j \in \mathbb A$$ Опять же, используя (1), можно увидеть, что приведенная выше карта на самом деле биективна и, таким образом, отождествляет$\mathbb A$с$\mathbb R^n$.

Изменение$o$к$o'$и основа$e_1,\ldots, e_n$к основе$e'_1,\ldots, e_n'$, получается другая декартова система координат$x'^1,\ldots, x'^n$. Просто доказывается, что правило перехода от второй системы координат к первой имеет вид

$$x'^a = c^a+ \sum_{j=1}^n {A^a}_j x^j \tag{3}$$ для$n$постоянные коэффициенты$c^j$и неособый$n\times n$матрица коэффициентов${A^a}_j$.

Указанная матрица проверяет

$$e_k = \sum_{i=1}^n {A^i}_k e'_i\tag{3'}$$

тогда как коэффициенты$c^k$являются компонентами вектора$\vec{oo'}$.

(На самом деле аффинная структура порождает естественную дифференцируемую вещественно-аналитическую структуру на$\mathbb A$размера$n$.)

Вещественное аффинное пространство, снабженное (псевдо)скалярным произведением в$V$называется (псевдо)евклидовым пространством .

пространство-время Минковского$\mathbb M^4$представляет собой (вещественное) четырехмерное аффинное пространство, снабженное псевдоскалярным произведением$g: V\times V \to \mathbb R$лоренцевского типа .

«Лоренцева типа» означает, что существуют основания,$e_0,e_1,e_2,e_3$, в$V$такой, что (здесь я принимаю соглашение$-+++$)

$$g(e_0,e_0)=-1 \:,\quad g(e_i,e_i) = 1 \mbox{ if $i=1,2,3$}\:,\quad g(e_i,e_j) =0 \mbox{ if $i\neq j$.}\tag{4}$$

Эти базисы называются базисами Минковского . Группа Лоренца$O(1,3)$не что иное, как группа матриц$\Lambda$соединяющие пары оснований Минковского. Поэтому он определяется

$$O(1,3) := \left\{ \Lambda \in M(4,\mathbb R) \:|\: \Lambda \eta \Lambda^t = \eta \right\}$$

где$\eta = diag(-1,1,1,1)$это матрица, представляющая метрику$g$в (4) в каждом базисе Минковского.

Система координат Минковского на$\mathbb M^4$— декартова система координат, оси которой являются базисом Минковского.

Преобразования Лоренца — это преобразования координат между парами минковских систем координат с одним и тем же началом (так что$c^k=0$в (3)). Таким образом, они имеют вид

$$x'^a = \sum_{j=1}^n {\Lambda^a}_j x^j$$

для некоторых$\Lambda \in O(1,3)$. Если мы допускаем различные начала, мы получаем так называемые преобразования Пуанкаре

$$x'^a = c^a+ \sum_{j=1}^n {\Lambda^a}_j x^j \:.$$

При рассмотрении преобразований Лоренца как преобразований координат их формальная линейность не играет существенной физической роли, поскольку отражает лишь произвольный начальный выбор одного и того же начала отсчета для обеих систем отсчета. Однако эти преобразования также являются преобразованиями базисов (3') в пространстве трансляций (касательном пространстве), в этом случае линейность естественна, поскольку отражает естественную структуру линейного пространства трансляций.

Строго в смысле преобразований координат в специальной теории относительности (т.е. не в общей теории относительности), преобразования Лоренца на самом деле однородны , а не линейны. Линейность, как Вы правильно заметили, является формальным свойством преобразования только в определенной системе координат, декартовой системе. Нет необходимости прибегать к отождествлению пространства-времени с векторным пространством.

Так что же означает однородность? Это означает, что преобразование не нарушает трансляционную инвариантность . Перемещение набора точек проводит набор параллельных прямых через каждую точку, а затем перемещает каждую из точек вдоль этой линии на одинаковое расстояние. Преобразование Лоренца обладает тем замечательным свойством, что произвольные две параллельные прямые в любом месте пространства (т.е. не только те, что в начале координат) остаются параллельными даже после преобразования.

Это геометрическое утверждение, не зависящее от координат, и физически требование одинаковой скорости, чтобы иметь инвариантный смысл. Помните, что мы находимся в пространстве-времени, поэтому прямая линия — это на самом деле частица, движущаяся в пространстве с постоянной скоростью, а семейство параллельных линий — это семейство объектов с одинаковой скоростью. То есть любой наблюдатель наблюдает, что два объекта с одинаковой скоростью имеют одинаковую скорость.

Теперь предположим, что мы можем выбрать систему координат, в которой каждое семейство параллельных линий может быть охарактеризовано уникальным наклоном координаты-смещения, кратным этому наклону по модулю. Мы требуем, чтобы преобразование Лоренца сохраняло эту структуру, что в конечном итоге приводит к линейности преобразования в этой очень специальной системе координат.

Этот набор координат, в котором мы можем идентифицировать параллельные линии по наклонам координат, являются декартовыми координатами и неким «естественным временем». Построенные семейства параллельных прямых тогда были бы своего рода проективным пространством (определение введения вики-статьи не применялось бы, но структура действительно такая же).

Одним из свойств проективного пространства является однородность, свойство инвариантности к умножению на число. Отсюда и название однородности преобразований Лоренца — оно индуцирует изоморфизм проективных («однородных») пространств.

Специальная теория относительности имеет место в пространстве Минковского , которое является векторным пространством. $\mathbb{R}^4$снабженный внутренним продуктом, заданным матрицей

$$G = \left(\begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right) \text{ with inner product} \langle x,y \rangle := x^T G y \; \forall \; x,y \in \mathbb{R}^4$$

Мы не можем выбирать любой базис этого векторного пространства, если хотим сохранить плоскую метрику Минковского.$G$в его задании, т.е. не все базисные (или координатные ) преобразования в$\mathrm{GL}(4,\mathbb{R})$подходят для того, чтобы оставить физику инвариантной. Множество базисных преобразований, сохраняющих скалярный продукт, называется изометриями , и это именно то, что группа Лоренца $\mathrm{SO}(1,3)$is - группа преобразований, оставляющая инвариантным скалярный продукт Минковского, т.е. все матрицы$M$выполнение

$$M^T G M = M$$

Если вы посмотрите на специальную теорию относительности в несколько более общем контексте, то есть на произвольные четырехмерные многообразия, где каждое касательное пространство несет метрику Минковского, то вы должны понимать преобразование Лоренца как изменение координат на многообразии, якобиан которого является элементом метрики Минковского.$\mathrm{SO}(1,3)$в каждой точке (т. е. во всех касательных пространствах), поскольку изменения координат действуют на касательные пространства их якобианами.

В любом случае преобразования Лоренца$\mathrm{SO}(1,3)$ являются линейными преобразованиями на касательных пространствах, индуцированными преобразованием координат.

Все это означает, что график преобразованной зависимой переменной по отношению к независимым переменным является линейным — прямой линией:

$$x' = Ax +Bt + C$$