Что делает что-то математическим?

Оба определения устарели. Как сказал Гуссерль еще в 1901 году:

« Только если кто-то не знаком с современной математической наукой, в частности с формальной математикой, и измеряет ее стандартами Евклида и Адама Ризе, можно остаться застрявшим в распространенном предубеждении, что сущность математики заключается в числе и количестве ».

В древности математика была почти исключительно связана с числами и простыми формами, в течение средних веков и 17 века к ним присоединились функции и уравнения. В 19 и особенно в 20 веках математика претерпела еще одну трансформацию, так что ее содержание стало представляться исключительно множествами, причем множествами являются даже отношения и операции над множествами. В 1950-х годах абстрактные структуры по преимуществу, математические категории, были введены и развернуты в различных областях и приложениях.

Может быть, нам лучше смотреть не на то, что изменилось, а на то, что осталось неизменным. Вот резюме Маклейна , основателя теории категорий:

« Математика — это изучение тех структур, которые возникают при различных применениях, но с одними и теми же формальными свойствами, и математики стремятся провести это исследование, используя доказательства. Эта точка зрения, в отличие от платонизма, также объясняет способы, которыми математика используется в других областях». наук ».

Итак, используя термины Аристотеля, математика — это изучение форм, абстрагированных от материи. Именно это делает его столь широко применимым, алгебраическая структура группы воплощается в фундаментальных симметриях природы и отдельных кристаллов, живых организмов и произведений искусства. Форма может быть выражена числами, фигурами, символами, множествами, категориями и пока неизвестными высшими абстракциями.

Поскольку абстрактная форма не подлежит наблюдению или эксперименту, которые могут лишь свидетельствовать о конкретном, математика выдумала другой эталон истины, являющийся ее краеугольным камнем и характерной чертой, — доказательство. В своем идеальном пределе он принимает форму дедуктивного доказательства в аксиоматических системах, где все результаты могут быть выведены символически из нескольких явных и формально выраженных предположений. Однако, хотя его истоки восходят к Древней Греции, этот идеал был полностью сформулирован только в 20 веке. Это не значит, что доказательства выражаются или даже должны быть выражены в виде формальных выводов, достаточно простой возможности такого выражения. Это также не означает, что математика свободна от экспериментов и эвристических рассуждений, но их результаты являются предварительными, и математики всегда стремятся в конце подтвердить их доказательством.

Опора на доказательство как на критерий истины объясняет еще одну его характерную черту: требование точности определений и аргументов, превышающее точность естественного языка или даже науки, а также математическую строгость. Строгость гарантирует, что математика логически прозрачна, точность и определенность выводов точно такие же, как и у предположений, ничего не добавляется посередине. Это также гарантирует, что он очень чувствителен к деталям, никакие противоречия, даже самые незначительные, не допускаются из-за закона взрыва и, следовательно, легко проверяются. Статья Джаффе и Куинна 1993 года о природе математики, ее современном состоянии и отношении к физике, а также о роли доказательства и строгости в ней вызвала дискуссию, которая предлагает глубокое понимание современных перспектив. Видетьответы нескольких выдающихся математиков .

Тот факт, что математика имеет доступ к чистой форме без помощи органов чувств, всегда был загадочным с философской точки зрения. Он вдохновил Платона на теорию идеальных форм, теорию синтетического априори Канта и концепцию формальных наук Гуссерля. Кант дает глубокое, хотя и несколько устаревшее, понимание того, как математика может быть тем, чем она является:

« Новый свет пролился на первого человека, который продемонстрировал равнобедренный треугольник (независимо от того, звали ли его Фалес или какое-то другое имя). Ибо он обнаружил, что ему нужно было не проследить то, что он увидел на этой фигуре, или даже проследить его простое понятие и вычитать как бы из свойств фигуры, а то, что последние он должен был произвести из того, что он сам мыслил в предмет и представлял (через построение) по априорным понятиям, и что для того, чтобы достоверно знать что-то a priori, он не должен приписывать этой вещи ничего, кроме того, что необходимо следует из того, что он сам вложил в нее в соответствии с ее понятием ».

А так как всякое определение есть отрицание, как выразился Спиноза, закончим гуссерлевским определением задач математики и философии:

« Построение теорий, строгое методическое решение всех формальных задач всегда останется родным делом математика… Если разработка всех истинных теорий ложится на математику, что же остается философам? Здесь мы должны обратите внимание, что математик на самом деле не чистый теоретик, а только гениальный техник, как бы конструктор, который, глядя только на формальные взаимосвязи, строит свою теорию, как техническое произведение искусства ... Математик строит теории чисел, количеств, силлогизмы, многообразия, без окончательного проникновения в сущность теории вообще, понятий и законов, являющихся ее условиями... Философ исследует сущность теории и то, что делает теорию как таковую возможной ».

С современной точки зрения математика считается наукой о формальных структурах. Простыми примерами таких структур являются топологические пространства, группы, векторные пространства, дифференцируемые многообразия.

Хороший обзор всех областей активных математических исследований можно прочитать в Классификации предметов математики, см. http://www.ams.org/msc/msc2010.html .

Теория чисел и геометрия — две из этих областей. Оба очень стары, но оба очень далеки от вычислений с числами или от изучения плоских треугольников.

Все математические теоремы доказаны на основе четких определений и аксиом. В противном случае математическое утверждение считается гипотезой, ожидающей либо доказательства, либо контрпримера.

С точки зрения интуиционистов, математика — это урезанное базовое хранилище человеческих интуитивных представлений, лишенное их реальной связи с реальностью. (Я вижу в этом более ясное значение несколько заумного анализа Брауэром математики как переживания единственной интуиции времени. Я думаю, что он зашел слишком далеко.)

Если что-то имеет представления, но не экземпляры, это математика. Есть примеры бухгалтеров, кроликов или любви... Или кварков, хотя бы в терминах модели наблюдаемого поведения. Белла — это экземпляр, а не представление Вампира: она «существует» по-другому в каком-то крипкиевском «мире».

Прямая линия не встречается — вы не можете ее нарисовать, вы не могли бы увидеть, если бы вы это сделали, и т. д., даже в обычных художественных произведениях. Нет экземпляра числа — совокупность пяти вещей — это не число пять, которое не заботится о вещах, которые оно перечисляет. Не существует экземпляра всех перестановок совокупности, есть только физические группировки, которые могли бы представлять отдельные перестановки — иначе перестановки позиций атомов и перестановки корней многочленов не могли бы действительно быть одними и теми же в совокупности. так, как они трактуются теорией Полиа и теорией Галуа соответственно. Есть только представления об этих вещах.

Геометрия, например, — это математика, потому что она берет свое начало в наших функциональных интуитивных представлениях о пространстве, но она уточняет их до такой степени, что мы знаем, что линии и фигуры, которые мы рисуем, — это не то, о чем мы говорим. Мы говорим о чем-то, что идеализирует эти полезные переживания в нечто запредельное, не оставляющее следов в реальности. Никто не может провести мифическую «прямую линию», но все мы относимся к ней, исходя из нашего обычного взгляда на пространственные отношения, наблюдая из той или иной точки, видя, как в окно падают «выходные» лучи и т. д.

Когда у нас есть коллекция из пяти вещей, мы говорим о том, как эта коллекция сочетается с другими подобными коллекциями, которые не имеют ничего общего с реальными вещами (и в этом отношении могут быть неправильными — объедините трех лис и четырех кроликов и, в конце концов, , у вас осталось не более четырех животных.)

Таким образом, математика — это совокупность общих человеческих интуитивных представлений, которые могут быть отделены от всех случаев и при этом сохраняют для нас значение как абстрактный образец.

На мой взгляд, математика, определенная как таковая, лежит на стыке рациональной психологии, эстетики и логики. Мы знаем, что что-то соответствует критерию представления интуиции, если в достаточно широком диапазоне случаев оно вызывает реакцию «конечно» или ее более сильную версию «ага!», поэтому математика имеет эстетическую основу.

Но то, какие виды таких открытий сохраняют значение без причины и случаев, является психологическим фактом, а не фактом внешней природы, поэтому математика, собственно, является частью рациональной психологии.

И мы очень рано обнаружили, что такого рода сочетание абсолютно чистых интуитивных представлений — единственное, что мы, по-видимому, можем действительно верно обрабатывать в нашей логике, не вводя чрезмерной сложности. Таким образом, то, как эти идеи могут быть объединены, и комбинации могут быть сообщены, становится самой основой логики.

Математика - это слово. Как таковое, оно подчинено ограничениям лингвистики. Одно из таких ограничений: почти невозможно заставить всех согласиться с его значением. Если я могу процитировать первую строку страницы Википедии « Определения математики »,

Определения математики сильно различаются, и разные школы мысли, особенно в философии, предлагают радикально разные и противоречивые объяснения.

Да, вопрос, который вы задали, настолько сложен, что ему посвящен не просто раздел математической страницы Википедии, а целая страница.

Лично я считаю, что все вещи, которые я называю математикой, имеют общую корневую структуру: теория моделей и теория доказательств. Теория моделей изучает семантику математических моделей, а теория доказательств изучает синтаксис математических доказательств. Обычно я обнаруживал, что вещи, которые я называю математикой, сводятся к одному или обоим этим корням, а вещи, которые я называю не-математиками, — нет.

Что такое искусство? Искусство — это то, чем занимаются подготовленные художники, — очевидно, на полном серьезе сказал искусствовед Данто.

После этого, как ни странно, физик Ишам, когда его спросили, что такое хорошая математика, ответил, что хорошие математики делают.

Круговой?

Верно, но как-то последовательно

Математическое определение математики — это набор всех возможных непротиворечивых структур.

(Виктория Гулд)

Я не думаю, что есть правильное определение «математики». Некоторые сказали бы или сказали, что это изучение чисел и пространства (алгебра и геометрия).

Является ли «математика» просто выполнением операций с определенным набором аксиом?

Ну, я бы сказал да, хотя это определение может быть не очень информативным. Этот взгляд называется формализмом . Эта идея была частью программы Гильберта.

Является ли «математика» чем-то, что связано с числами?

Да, но не исключительно. Рассмотрим любой вид абстрактной алгебры: теорию групп, теорию колец, линейную алгебру, теорию категорий. Числа действительно важны, но абстрактная алгебра пытается обобщить понятия, которые мы знаем по числам, на другие объекты. Не говоря уже о том, что геометрия сама по себе не связана с числами. Термин «число» в любом случае вызывает сомнения; это в основном существует по историческим причинам. Обычно это синоним натурального числа, целого числа, рационального числа, действительного числа, комплексного числа или, возможно, даже сюрреалистического числа. Однако нет единого мнения о том, что такое число на самом деле.

А математическая логика?

Математическая логика — это область математики, а математика — это область логики, согласно логицизму Рассела и Уайтхеда . Я согласен. Я бы даже сказал, что логика и математика — это одно и то же, за исключением того, что большая часть выполняемой математики — это очень «высокоуровневая» логика.

Конечно, математику можно делать предельно строго (а-ля доказательство-помощник-строго), строго и менее строго (с картинками или убедительными примерами). Называете ли вы неформальный аргумент «математикой», вероятно, зависит от вас.

Математика — это изучение точных и полезных мыслей. Если у вас есть мысль, которую вы можете полностью уточнить с помощью некоторых средств (возможно, аксиоматизируя ее на каком-то логическом языке), и она полезна в каком-то четко определенном смысле, вы можете смело называть ее математикой.

Математическая логика — это собрание точных мыслей о точных мыслях, логика — это собрание точных мыслей о мыслях вообще, анализ — это собрание точных мыслей о действительных числах, их подмножествах и отображениях, теория категорий — это собрание точных мыслей о наборов объектов и сохраняющих структуру отображений между ними, теория множеств представляет собой набор точных мыслей, касающихся нашей способности собирать объекты вместе и применять к ним предикаты...

Процесс придания мыслям точных и совершенно недвусмысленных (в некотором значимом смысле) моментов действительно становится «математикой». Аксиоматизация всех ваших предположений и кодирование аксиом на каком-то общепринятом логическом языке часто является наиболее простым способом сделать это, когда «алгебраические» свойства возникают из определения символов для бинарных/бесконечных операций над отдельными «элементами» и их последующей обработки. , «топологические» свойства возникают из определения символов для «подмножеств» и их пересечений/объединений/последовательностей, «однородные» свойства возникают из определения покрытий («множеств подмножеств») и уточнения для вашей структуры и т. д. и т. д. вперед.

Если мысли полезны, но не могут быть полностью точны в каком-то существенном смысле, они выходят за рамки области математики. Если мысли точны и бесполезны, никого это не волнует. Это всегда казалось мне определяющей природой математики.

Математика изучает общие свойства вещей, имеющих разное физическое содержание. Это изучение свойств, общих для физически не связанных между собой вещей.

Все треугольники имеют общие свойства, будь то треугольник атомов, или треугольник крыши, или треугольник звезд. Все наборы из 6 предметов имеют общие свойства, будь то 6 яблок, 6 автомобилей или 6 галактик.

Люди заметили это и решили изучать эти свойства отдельно от физических вещей.

Короткий ответ

«Что такое математика» — одна из основных проблем философии математики, и в зависимости от убеждений человека о философии и в ней, особенно о метафизике , существуют очень разные взгляды на то, что значит быть математическим . Подход к определению «математического» (помимо того, что он является синонимом «точного») может подпадать под два подхода: один — определение общего, естественного языка, которое может соответствовать теории прототипов, а другой — следует более техническим вопросам интенсионала , опирающимся на вопросы необходимость и достаточность .

Общий ответ на «математический» будет следовать определению здравого смысла, которое включает такие термины, как количество, качества, отношения, формы, операции, истина и направление, и будет обращаться к некоторым общим системам математики, таким как арифметика, алгебра, векторы, и геометрии. Технический ответ на то, что такое математика и откуда она берется, будет больше соответствовать различным школам философии математики . Эти ответы гораздо более технические, но включают в себя такие идеи, как сведение к логике, формальные системы, интуиция, эмпирический опыт, абстракция, итерация и семантика. Первый класс характеристик понятен большинству людей, в то время как второй класс представляет собой техническую философию, опирающуюся, в частности, на жаргонэпистемология и онтология .

Если бы за «математическое» проголосовала группа образованных взрослых, первый класс был бы самым популярным, но то, найдет ли кто-то это привлекательным, будет связано с его взглядами на использование обычного языка в философии и изощренность. своего философского жаргона . Следует сказать, что любые притязания на уверенность в том, что является «математическим», противоречат любому эпистемологическому подходу, который является плюралистическим и фаллибилистским (ИЭП) . Утверждение о том, что пифагорейцы сбросили конкурентов со скалы (Reddit) , скорее всего, апокриф , но в него, безусловно, можно поверить.

Длинный ответ

Политика математики

Любой ответ на математический вопрос очень похож на интеллектуальный отпечаток пальца . Возьмем, к примеру, математическую философию Витгенштейна , она заметно отличается от заявлений о «математическом», сделанных Аристотелем (с учетом того факта, что mathema, «μάθημα» в греческих языках — это нечто гораздо более широкое, чем то, что мы называем математикой).

Чтобы продемонстрировать, насколько определение «математического» является весьма пристрастным и расходящимся, давайте рассмотрим характеристику «математического» с эмпирической точки зрения и то, что должен сказать SEP:

Общефилософское и научное мировоззрение XIX века тяготело к эмпирическому: платонические аспекты рационалистических теорий математики быстро теряли поддержку. Особенно с подозрением относились к когда-то высоко оцененной способности рациональной интуиции идей. Таким образом, возникла задача сформулировать философскую теорию математики, свободную от платонических элементов. В первые десятилетия двадцатого века были разработаны три неплатонистских взгляда на математику: логицизм, формализм и интуиционизм. Возникла в начале ХХ века и четвертая программа: предикативизм. В силу случайных исторических обстоятельств его истинный потенциал не раскрывался до 1960-х годов.

Если кто-то займет позицию, согласно которой математическое мышление (каким бы оно ни было) сводится к психологической теории, признанной со времен психологизма 19 века, то можно согласиться с математической философией Джона Стюарта Милля (SEP) как с индуктивистским усилием:

Среди Законов Природы, изученных посредством индуктивных рассуждений, есть законы геометрии и арифметики. Стоит подчеркнуть, что Милль ни в коем случае не считает, что в конечном счете индуктивная природа наук — будь то физических, математических или социальных — исключает дедуктивную организацию и практику науки (Ryan 1987: 3–20). Очевидно, что многие выводы мы делаем в дедуктивных терминах, и нигде это не яснее, чем в случае с математикой. Утверждение Милля просто состоит в том, что любая предпосылка или невербальный вывод могут быть настолько сильными, насколько сильным является индуктивное обоснование, которое их поддерживает.

Этот подход к пониманию «математического», возможно, не так популярен, как подход Гуссерля, поскольку он отвергает трансценденталистские представления, заимствованные из Канта , с которыми мог бы согласиться элиминативный материалист . У Линнебо в его «Философии математики » есть глава о современных эмпирических интерпретациях «математического».

Эмпирические, интуитивные и неортодоксальные подходы

Линнебо поднимает вопрос о связи между эмпиризмом Локка и математическим мышлением на странице 88:

[T] Сама идея о том, что математическое знание является априорным синтетическим, противоречит эмпиристскому убеждению, что все существенное знание является эмпирическим.

Он продолжает освещать вклад Милля и Куайна.

В главе 8: Математический интуитивизм он предполагает, что интуитивизм носит эмпирический характер, но отвергает излишества эмпиризма на странице 116:

Теперь мы более подробно рассмотрим некоторые объяснения математического знания, которые не уподобляют его эмпирическому знанию... [поскольку] некоторая форма математической интуиции предоставляет доказательства определенной математической истины.

Один неортодоксальный подход к характеристике математики исходит от Джорджа Лакоффа и Рафаэля Э. Нуньеса в их книге « Откуда берется математика» . Вообще говоря, ответ на название книги — психологические процессы разума, которые можно понимать как концептуальные метафоры . Одним из примеров, который они приводят в своей книге, является взаимосвязь между фундаментальной лингвистической способностью разума к категоризации и использованием Метафоры Вмещения для понимания интуитивных множеств наивной теории множеств . Это очевидная эмпирическая истина, что люди понимают контейнеры задолго до того, как разрабатывают формальные механизмы определения расширения . Конечно, хотя идея о том, что мозг тесно связан с разумом посредствомнейронные корреляции сознания , в математической философии еще много ву (таким образом обнаруживая мою необъективность).

Резюме и советы

Если вы хотите понять, что является «математическим», а что нет, как и в большинстве областей, включая попытки определить «науку», могут возникнуть трения по поводу демаркации и определения. Если вы хотите понять, что такое «математика», и у вас нет некоторого опыта в области математики на уровне бакалавриата, возможно, вам будет полезно немного изучить неевклидову геометрию , абстрактную алгебру и формальную теорию множеств, прежде чем углубляться в очень абстрактные понятия. и технические понятия математической философии, в которой произошел очень увлекательный взрыв идей с тех пор, как Фреге Готтлоб изобрел основу для формализмов, используемых сегодня в математической логике . Как минимум, по мере развития собственных убеждений, вы сможете понять некоторые из основных теорий, которые лежат в основе технических представлений о математике, и начнете понимать, как Томас Кун о науке , что математикой занимаются математики, многие из которых получают деньги за защиту своих убеждений или имеют профессиональную репутацию. (не говоря уже о чувствах) поставлены на карту, когда они торгуют философией, которая может в значительной степени отвергать современную науку и убеждать из-за практических результатов пребывания на подножке .

Среди математиков и философов существуют разные взгляды на точное определение математики . –Вики

STEM — это аббревиатура, относящаяся к академическим дисциплинам науки [примечание 1] , технологии, инженерии и математики. –Вики

Если «это» лучше подходит для математики , чем для трех других, то это (просто базовая, академическая) математика.

сама математика есть лишь частное образование математического.

По своему образованию слово «математический» происходит от греческого выражения ta mathemata , что означает то, что можно выучить и, таким образом, в то же время чему можно научить; мантанеин означает учиться, матезисить учение, и это в двояком смысле.

Математы суть вещи, поскольку мы познаем их как то, что мы уже знаем заранее, тело как телесное, растительноподобное у растения, животноподобное у животного, вещность вещи. , и так далее. Таким образом, это подлинное обучение представляет собой весьма своеобразное взятие, взятие, при котором тот, кто берет, берет только то, что в основном уже имеет. Обучение соответствует этому обучению. [...] Если ученик только берет то, что ему предлагают, он не учится. Он начинает учиться только тогда, когда переживает то, что воспринимает, как нечто, что действительно уже есть у него самого.

Таким образом, математическое является фундаментальной предпосылкой познания вещей.

Хайдеггер, Мартин. «Современная наука, метафизика и математика» в Basic Writings , изд. Крелл. Нью-Йорк: HarperCollins, 2008. 271–305.

Математика занимается обучением и изучением («в изначальном смысле»), чтобы сделать возможным познание вещей.