Что делает общую теорию относительности конформным вариантом?

Общая теория относительности конформно инвариантна только в двух измерениях. Это можно доказать, сделав преобразование$g_{ab} \rightarrow \phi g_{ab}$, и увидев, какое преобразование уравнение Эйнштейна${}^{1}$делает. Вы обнаружите, что уравнение Эйнштейна БОЛЬШИНСТВОМ преобразуется, но вы получите члены, пропорциональные$(d-2)(d-1)$и производные от$\phi$. Следовательно, вы получаете конформную инвариантность только в двух измерениях.

Если вы хотите доказать это еще быстрее, вычислите кривизну конформно плоской метрики (т. е. такой, где$g_{ab} = \phi \eta_{ab}$.

${}^{1}$намекать:$\Gamma_{ab}{}^{c} \rightarrow \Gamma_{ab}{}^{c} + \frac{1}{\phi}\left(\delta_{a}{}^{c}\nabla_{b}\phi + \delta_{b}{}^{c}\nabla_{a}\phi - g_{ab}\nabla^{c}\phi\right)$

Более физическая попытка:

В общей теории относительности метрический тензор представляет измерения локальных часов и линейки. Если я умножу метрический тензор на скалярную константу, должно быть очевидно, что это неэквивалентно (в общем случае) набору преобразований координат, но в то же время я воздействую на локальные измерения часов и линейки (отношение длительность эксперимента в точке а на длительность эксперимента в точке b может измениться после конформного преобразования, если$\phi(a) \neq \phi(b)$). Поэтому я представляю другое физическое состояние.

Это отличается от теории Максвелла, где векторный потенциал не имеет прямого физического смысла. Также обратите внимание, что теория Максвелла имеет элемент тождества$A_{a} = \vec{0}$, а ОТО имеет элемент идентичности$g_{ab} = \eta_{ab}$. Там тоже следует ожидать иного поведения при умножении.

Постоянная Ньютона имеет размерность. Следовательно, теория НЕ является конформно-инвариантной. В двух измерениях постоянная Ньютона безразмерна. Но тогда кажущаяся конформная симметрия на самом деле является лишь ИЗБЫТОЧНОСТЬЮ в описании (иногда называемой симметрией Вейля).