Часто в учебниках теорема Нётер формулируется с предположением, что лагранжиан должен быть инвариантным. .
Однако, учитывая лагранжиан , мы знаем, что лагранжианы (куда любая константа) и (куда любая функция) приводят к одним и тем же уравнениям движения.
Можем ли мы тогда считать, что лагранжиан инвариантен относительно преобразования, если мы находим или же вместо ?
Здесь я хотел бы упомянуть понятие квазисимметрии. В общем, если лагранжиан (соответственно плотность лагранжиана, соответственно действие) инвариантен только до полной производной по времени (соответственно пространственно-временной дивергенции, соответственно граничного члена) при выполнении определенного внеоболочечного вариация, говорят о квазисимметрии, см., например, работу. 1.
Первая теорема Нётер верна и для квазисимметрий. Примеры нетривиальных законов сохранения, связанных с квазисимметриями, см. в примерах 1, 2 и 3 в статье Википедии о теореме Нётер .
Использованная литература:
--
Здесь слово вне оболочки означает, что уравнения Эйлера-Лагранжа (EL). движения не предполагаются выполненными при конкретной вариации. Если мы примем уравнения EL. движения, любая вариация лагранжиана тривиально является полной производной.
Я просто хотел бы сказать, что стандартная теорема Нётер очень применима к случаю, когда . Например, перевод времени имеет такую форму. Мы можем увидеть это, выполнив процедуру Нётер для крошечного перевода времени.
Немного повозившись с цепным правилом исчисления с несколькими переменными, мы обнаруживаем, что это посылает
Затем воспользуемся тем, что по решениям уравнений движения и после интегрирования по частям находим, что
о решениях уравнений движения. Это просто сохранение энергии
Симметрии TLDR, которые меняются полной производной просто включаются в теорему Нётер без необходимости делать что-либо дополнительно. Перевод времени является примером этого.
Однако, немного экзотичнее. Выполнение процедуры Нётер на лагранжиане свободной частицы который имеет масштабную симметрию , я считаю, что "закон сохранения" (если вы хотите его так назвать) просто , что тривиально во всяком случае по уравнениям движения.
диффеоморфизм
Qмеханик