Что физически означают полюса функции Грина?

Позвольте мне немного расширить то, что только что сказал Крейг Тон:

Рассмотрим функцию Грина, зависящую от энергии/частоты:

$$\tilde{G}(\omega)=\frac{1}{\omega-(a-\mathrm{i}b)}$$ с одним единственным полюсом в $\omega=a-\mathrm{i}b$(с $b>0$), который представляет собой преобразование Фурье зависящего от времени $G(t)$Зеленая функция, такая как: $$G(t)=\int\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\frac{e^{-\mathrm{i}\omega t}}{\omega-(a-\mathrm{i}b)}$$ Можно показать, используя комплексный анализ (в конечном итоге я могу показать некоторые подробности об этом, если это необходимо), что он вычисляет: $$G(t)=\mathrm{i}\,e^{-\mathrm{i}at-bt}\Theta(t)$$ куда $\Theta$является ступенчатой ​​функцией Хевисайда.

Это означает, что :

1. Реальная часть$a$полюса придает решению колебательный характер. В контексте квантовых систем$a$часто называют собственной энергией.
2. Роль мнимая часть$b$в два раза:
   • Это придает раствору затухающие свойства. В контексте квантовых систем$b$будет описывать, как одно состояние, которое не является собственным состоянием системы , будет истощаться как функция времени в суперпозиции собственных состояний. В пределе теории возмущений$b$это та же скорость, которую дает Золотое правило Ферми .
   • Дело в том, что$b>0$гарантирует, что функция$\tilde{G}(\omega)$не имеет полюса в верхней комплексной плоскости (т.е.$\forall\omega\in\mathbb{C}, \Im({\omega})>0$). Этот анализ$\tilde{G}$по интегральной теореме Коши следует , что: $$\forall t<0,\,G(t)=0$$ что необходимо для обеспечения причинности динамики. Для обеспечения такого свойства ступенчатая функция Хевисайда$\Theta$можно добавить к$G(t)$.

РЕДАКТИРОВАТЬ : аналитичность$G$и причинность . Чтобы оценить$G(t)$за$t<0$, можно рассмотреть путь$\Gamma_R$который определяется как:

$$\Gamma_R=\left\{\omega\in\mathbb{C},\,\omega\in[-R,R]\,\bigcup\,\mathcal{C}_R^0\right\}$$ куда $\mathcal{C}_R^0$половина круга с центром в $\omega=0$с $R$радиус.

$\forall t<0,\, G(t)$определяется интегралом:

$$\forall t<0,\, G(t)=\lim_{R\rightarrow+\infty}\int_R^{-R}\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\frac{e^{-\mathrm{i}\omega t}}{\omega-(a-\mathrm{i}b)}$$ Аддитивность интегралов дает вам тогда: $$\forall t<0,\,\int_{\Gamma_R}\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\frac{e^{-\mathrm{i}\omega t}}{\omega-(a-\mathrm{i}b)}=G(t)+\lim_{R\rightarrow+\infty}\int_{\mathcal{C}_R^0}\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\frac{e^{-\mathrm{i}\omega t}}{\omega-(a-\mathrm{i}b)}$$ Поскольку в комплексной области, окруженной $\Gamma_R$( $\tilde{G}$аналитична в верхнем комплексном плане), интегральная теорема Коши дает вам следующее: $$\int_{\Gamma_R}\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\frac{e^{-\mathrm{i}\omega t}}{\omega-(a-\mathrm{i}b)}=0$$ Более того, лемма Жордана гарантирует, что: $$\lim_{R\rightarrow+\infty}\int_{\mathcal{C}_R^0}\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\frac{e^{-\mathrm{i}\omega t}}{\omega-(a-\mathrm{i}b)}=0$$ позволю вам с: $$\forall t<0,\,G(t)=0$$ Вы должны понимать, что именно по этой причине иногда вы видите, как люди вводят бесконечно малые $\pm\mathrm{i}\epsilon$что выталкивает полюс пропагатора из действительной оси: это обеспечивает причинность / антипричинность решения.

Это несколько широкий вопрос, потому что в квантовой физике существует множество различных функций Грина. Возможно, самым простым из них является резольвентная функция Грина для одночастичной системы. Его определение

$$G(\omega^{\pm})=\lim_{\delta \rightarrow 0^+}\left[ \omega \pm i\delta - H \right]^{-1}\equiv \frac{1}{\omega\pm i\delta - H},$$ куда $H$является гамильтонианом. Игнорирование $\delta$, и заменив $\omega \rightarrow E$, вы можете видеть, как это связано с не зависящим от времени уравнением Шредингера: $$H\left|\psi \right>=E\left|\psi \right> \longrightarrow \left[ E - H\right]\left|\psi \right> = 0.$$ В принципе, если вы примените оператор $G$к решению уравнения Шрёдингера, $\left|\psi_n \right>$с уровнем энергии $E_n$, вы получаете полюс («знаменатель» исчезает) при $\omega \pm i\delta = E_n$. То есть, $$G_{nn}(\omega^{\pm})\equiv\left<\psi_n \right|G(\omega^{\pm}) \left|\psi_n \right>=\frac{1}{\omega \pm i\delta - E_n},$$ имеет полюс. Тогда ясно, что полюса (Tr = след) $$\mathrm{Tr}\{G(\omega^{\pm})\}\equiv\sum_{n}^{\mathrm{all\,states}}G_{nn}(\omega^{\pm}),$$ дать вам полный спектр. На самом деле можно показать, что количество (Im = мнимая часть) $$\rho(\omega)=-\frac{1}{\pi}\mathrm{Im}\{\mathrm{Tr}\{G(\omega^+)\}\},$$ дает вам плотность состояний гамильтониана $H$.

Резольвентная функция Грина верна для системы из одной частицы, но эта концепция хорошо применима к физике многих тел и, следовательно, к квантовой теории поля. Однако определение функции Грина в этих случаях не столь прямое. Функция Грина задается амплитудой вероятности того, что частица будет добавлена ​​в состояние вакуума за определенный момент времени.$t$и государство$n$, и что после временной эволюции он будет удален во время$t'$и государство$n'$:

$$\mathcal{G}(t',n';t,n)=-i\left<\Phi \right|\psi_{n'}(t')\psi_n^\dagger (t) \left|\Phi \right>,$$ где коэффициент $i$выглядит просто как условность, и $\left|\Phi \right>$представляет собой основное состояние. Это определение имеет очень прозрачную интерпретацию, потому что эта величина является ответом на вопрос: если в квантовом вакууме, который представляет собой (цитируя любимую фразу Лоуренса Краусса) «кипящее бурлящее варево из частиц, появляющихся и исчезающих», частица должна была появиться в состоянии времени $(t,n)$, какова вероятность (амплитуда) того, что он распространится на временное состояние $(t',n')$? Существует несколько различных версий этого типа функции Грина, каждая из которых полезна для разных целей. У всех них есть одна общая черта: обращаться с ними в такой форме сложно, и гораздо проще работать с их преобразованиями Фурье. $$\mathcal{G}_{n'n}(\omega^{\pm})=\int\mathrm{d}(t'-t)\,\mathrm{e}^{i(\omega\pm i \delta )(t'-t)}\mathcal{G}(t',n';t,n).$$ Как видите, сложный сдвиг $\delta$здесь вводится вопрос о сходимости интеграла. Именно это и является его источником в резольвентной функции Грина. На самом деле, если у вас есть система, в которой частицы не взаимодействуют друг с другом, а вместо этого каждая частица просто следует гамильтониану $H$с энергиями $\{E_n\}$, то вы можете показать, что $$\mathcal{G}_{n'n}(\omega^{\pm})=\frac{\delta_{n',n}}{\omega\pm i\delta - E_n},$$ и вы получаете полную аналогию с одночастичной функцией Грина, и ответ на поставленный выше вопрос таков: «Если частица рождается при собственной энергии гамильтониана и распространяется, чтобы аннигилировать при той же собственной энергии, вы получите пик вероятности (полюс); если нет, вы получите ноль».

Однако все становится интереснее, когда у вас есть взаимодействия, и ваш гамильтониан становится$H + U$. Для этого случая можно показать, что

$$\mathcal{G}_{n'n}(\omega^\pm) = \frac{1}{\omega - E_n - \Sigma_{n'n}(\omega^\pm)},$$ куда $\Sigma_{n'n}(\omega^\pm)$называется собственной энергией, а приведенное выше уравнение называется уравнением Дайсона. Во многих случаях это будет иметь простую форму, если вы вычислите конкретно $\mathcal{G}_{nn}$: $$\mathcal{G}_{nn}(\omega) = \frac{1}{\omega - (E_n + \Lambda(\omega) ) - i \Gamma_{n}(\omega) }.$$ Это имеет очень простое значение, если сравнить его со случаем отсутствия взаимодействия: во-первых, если вы игнорируете $\Gamma$, у вас есть то, что из-за взаимодействий полюс сместился из $E_n$к $E_n + \Lambda$. Тогда, если учесть $\Gamma$, вы обнаружите, что полюс не бесконечно «узок», а вместо этого имеет ширину $\approx \Gamma$. На самом деле это выражение есть не что иное, как разновидность распределения Лоренца. По сути, из-за взаимодействий ваш энергетический уровень больше не живет бесконечно, а теперь распадается в вакуум в масштабе времени, определяемом $\hbar/\Gamma$. $\Gamma$иногда называют скоростью рассеяния или скоростью затухания. Но поскольку аналогия с резольвентной функцией Грина сохраняется, говорят, что это состояние, имеющее конечное время жизни, является энергетическим состоянием для новой частицы — квазичастицы, — возникающей из взаимодействующей системы.

Полюс функции Грина связан со спектром распространяющейся частицы. Например, одно измерение

$$\tilde{G}(\omega)= \frac{i}{\omega-(\epsilon+i\Gamma)}$$ В чистом виде G(t) представляет собой некоторую функцию колебаний, показывающую, что частица стабильна. Если чисто мнимая, G (t) имеет некоторое экспоненциальное поведение затухания, которое показывает, что частица нестабильна.