Условия перенормировки уравнения Каллана-Симанзика

Предположим, у нас есть массивный ф 4 теории точная двухточечная корреляционная функция задается как

г "=" я Z п 2 − м р 2 + сроки регулярные в  п 2 "=" м р 2
и если я хочу применить перенормированную теорию возмущений, я нахожу

г "=" я п 2 − м р 2 − Σ ( п 2 )
где
− я Σ ( п 2 )
является суммой всех одночастичных неприводимых диаграмм.

Тогда условие перенормировки

− я Σ ( п 2 ) | п 2 "=" м р 2 "=" 0
такой, что у него будет полюс с вычетом 1 в точке п 2 "=" м р 2 .

Однако, когда мы выводим уравнение Каллана-Симанзика для безмассовой теории, мы определяем условие перенормировки как

г "=" я п 2 в  п 2 "=" − М 2
где М – шкала перенормировки.

Насколько я понял первый г точна, то и вторая точна, и чтобы их сопоставить, мы говорим

− я Σ ( п 2 ) | п 2 "=" м р 2 "=" 0
.

Но сбивает с толку то, что в безмассовом случае точное г должно быть точно

г "=" я Z п 2 + сроки регулярные в  п 2 "=" 0
и используя перенормированную теорию возмущений, мы должны найти
г "=" я п 2 − Σ ( п 2 )
тогда условие перенормировки

− я Σ ( п 2 ) | п 2 "=" 0 "=" 0
Однако мы используем п "=" М вместо п "=" 0 . Это сбивает с толку, и я не понимаю, почему. Также я не понимаю, является ли в безмассовом случае точная двухточечная корреляционная функция
г "=" я Z п 2 + сроки регулярные в  п 2 "=" 0
или нет? Если это дано так, и если у нас есть также
г "=" я п 2 в  п 2 "=" − М 2
тогда условия
( сроки регулярные в  п 2 "=" 0 ) "=" 0  в  п 2 "=" − М 2

Я думаю, что идея в том, что они предполагают, что существует шкала импульса М где теория ведет себя точно как свободная теория, а эта точка - как условие перенормировки, но как они узнают, существует ли такая точка.

Ответы (1)

Массивные скалярные поля не имеют сингулярностей в своих контрчленах, однако они имеют сингулярности, если принять м 2 → 0 . Например, рассмотрим контртермин дельта λ для действия массивного скалярного поля

л "=" ( ∂ мю ф р ) 2 2 − ( м ф р ) 2 2 − λ ф р 4 4 ! + дельта Z ( ∂ мю ф р ) 2 2 − ( дельта м ф р ) 2 2 − дельта λ ф р 4 4 ! ,

которое мы получили из голого лагранжиана

л "=" ( ∂ мю ф ) 2 2 − ( м 0 ф ) 2 2 − λ 0 ф 4 4 !

при замене

ф "=" Z 1 / 2 ф р , дельта Z "=" Z − 1 , дельта м "=" м 0 Z 2 − м 2 , дельта λ "=" λ 0 Z 2 − λ .

Таким образом, вы можете определить условия перенормировки, как указано в вашем вопросе. Теперь можно выполнить размерную регуляризацию и использовать параметризацию Фейнмана, чтобы получить выражение для дельта λ в г "=" 4 :

дельта λ "=" λ 2 32 π 2 ∫ 0 1 г Икс ( 6 ϵ − 3 γ + 3 бревно ⁡ 4 π − бревно ⁡ [ м 2 − Икс ( 1 − Икс ) 4 м 2 ] − 2 бревно ⁡ м 2 )

Легко видеть, что этот контртермин не работает, когда вы принимаете м 2 → 0 . В результате эту схему перенормировки нельзя использовать, когда м 2 → 0 .

Чтобы избежать этих особенностей в контрчленах, вы определяете условия перенормировки для безмассового случая при некотором (нефизическом) пространственно-подобном импульсе п с п 2 "=" − М 2 , а не в оболочке п 2 "=" 0 . Преимущество в том, что контртермины не взрываются, как это было раньше.

Обратите внимание, что это, как правило, хороший рецепт (даже для массивного случая), поскольку он полностью обходит необходимость определения условий перенормировки для массы на оболочке. Теперь можно использовать различные н -точечные функции Грина, чтобы записать и решить уравнение Каллана-Симанзика, из которого можно получить уравнение потока РГ в терминах масштаба перенормировки М .

Условия перенормировки уравнения Каллана-Симанзика
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v