Как интерпретировать корреляционные функции в QFT?

Да, в скалярной теории поля$\langle 0 | T\{\phi(y) \phi(x)\} | 0 \rangle$- амплитуда распространения частицы от$x$к$y$. К этому есть оговорки, потому что не все КТП допускают интерпретацию частиц, но для массивных скалярных полей с умеренно сильными взаимодействиями это правильно. Применение оператора$\phi({\bf x},t)$в вакуум$|0\rangle$переводит QFT в состояние$|\delta_{\bf x},t \rangle$, где есть одна частица, волновая функция которой во времени$t$поддерживается ли дельта-функция при${\bf x}$. Если$x$приходит позже, чем$y$, номер$\langle 0 | \phi({\bf x},t)\phi({\bf y},t') | 0 \rangle$просто внутренний продукт$| \delta_{\bf x},t \rangle$с$| \delta_{\bf y},t' \rangle$.

Однако функция$f(x,y) = \langle 0 | T\{\phi(y) \phi(x)\} | 0 \rangle$на самом деле не является корреляционной функцией в стандартном статистическом смысле. Этого не может быть; это даже не реальная стоимость. Тем не менее, это близкий родственник корреляционной функции честности.

Если произвести замену$t=-i\tau$, вы включите действие

$$iS = i\int dtd{\bf x} \{\phi(x)\Box\phi(x) - V(\phi(x))\}$$ скалярной теории поля на $\mathbb{R}^{d,1}$в энергетическую функцию $$-E(\phi) = -\int d\tau d{\bf x} \{\phi(x)\Delta\phi(x) + V(\phi(x))\}$$ которое определено на скалярных полях, живущих на $\mathbb{R}^{d+1}$. Точно так же осциллирующий интеграл Фейнмана $\int \mathcal{D}\phi e^{iS(\phi)}$становится мерой Гиббса $\int \mathcal{D}\phi e^{-E(\phi)}$.

Мера Гиббса — это вероятностная мера на множестве классических скалярных полей на$\mathbb{R}^{d+1}$. Имеет корреляционные функции$g(({\bf x}, \tau),({\bf y},\tau')) = E[\phi({\bf x}, \tau)\phi({\bf y},\tau')]$. Эти корреляционные функции обладают тем свойством, что их можно аналитически продолжить до комплексных значений$\tau$имеющий форму$\tau = e^{i\theta}t$с$\theta \in [0,\pi/2]$. Если мы возьмем$\tau$насколько это возможно, установив его равным$i t$, мы получаем сигнатурные «корреляционные функции» Минковского$f(x,y) = g(({\bf x},it),({\bf y},it'))$.

Так$f$на самом деле не корреляционная функция, а граничное значение аналитического продолжения корреляционной функции. Но это занимает много времени, поэтому злоупотребляют терминологией.

Нет,$⟨0|T{ϕ(y)ϕ(x)}|0⟩$НЕ является амплитудой вероятности распространения частицы из$x$к$y$, даже для свободного скалярного поля. Кажется, это распространенное ложное убеждение, что это так. Есть одна очевидная причина и одна глубокая причина, почему этого не может быть.

Очевидная причина в том, что квадрат этого значения, которое должно быть плотностью вероятности, не интегрируется до 1 (см. википедию ):

$⟨0|T{ϕ(y)ϕ(x)}|0⟩=$

$$G_F(x,y) =\lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{(2\pi)^4}\int d^4p\frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2-m^2+i\epsilon} =\begin{cases} -\frac{1}{4\pi}\delta(s)+\frac{m}{8\pi\sqrt{s}}H_1^{(1)}(m\sqrt{s}) & s\ge 0\\ -\frac{im}{4\pi^2\sqrt{-s}}K_1(m\sqrt{-s}) & s<0 \end{cases}$$ где$s:=(x^0-y^0)^2-(\vec{x}-\vec{y})^2$, следовательно$\int dy_1 dy_2 dy_3\,|⟨0|T{ϕ(y)ϕ(x)}|0⟩|^2$бесконечно (если вообще имеет смысл). Интерпретация как «амплитуда относительной вероятности» не фиксирует этого, потому что большая часть «вероятности распространения от$x$к$y$' в любом случае сосредоточился бы на конусе$s=0$из-за$\delta(s)$-срок.

Более глубокая причина заключается в том, что «вероятность» не имеет никакого смысла, пока не введено вероятностное пространство , т. е. множество возможных исходов эксперимента. По крайней мере, мы должны предположить, что эти результаты являются взаимоисключающими . В нерелятивистской квантовой механике этот набор представляет собой ортонормированный базис в гильбертовом пространстве (или немного более общий объект, такой как набор дельта-функций, поддерживаемых в различных точках пространства).$\mathbf{y}$). Тогда скалярное произведение с базисными элементами интерпретируется как плотность вероятности перехода. Но для свободного квантового поля дельта-функции с носителями в разных точках пространства$\mathbf{y}$и в то же время$t$больше не ортогональны (ни в каком смысле):$⟨0|T{ϕ(\mathbf{y},t)ϕ(\mathbf{x},t)}|0⟩\ne 0$по приведенному выше выражению. Другими словами, можно найти частицу в разных точках одновременно, что делает невозможным говорить о плотности вероятности найти частицу в точке. Следовательно, внутренний продукт$|δ_x,t⟩$с$|δ_y,t'⟩$ нельзя интерпретировать как плотность вероятности (оставляя в стороне вопрос, что вообще означает это обозначение в пространстве Фока), что совершенно противоположно ответу пользователя 1504.

Наконец, нельзя ввести какой-либо опыт для измерения величины под названием «вероятность распространения свободной частицы из$x$к$y$', поскольку точность измерения координат частицы не может быть лучше комптоновской длины волны частицы.

Остерегайтесь: совершенно не разбираясь в свободном квантовом поле, пишите только для того, чтобы получить шанс быть поправленным теми, у кого есть. В частности, был бы признателен за объяснение, что означает$⟨0|T{ϕ(y)ϕ(x)}|0⟩$, если это не амплитуда вероятности. Застрял с этим вопросом в течение довольно долгого времени.