Что люди подразумевают под «состоянием, развивающимся с взаимодействующей/свободной теорией»?

Это довольно простой вопрос, но я признаюсь, что до этого момента я его не задавал.

При определении операторов Моллера и, следовательно, С -матрицу обычно рассматривают как «состояния Ψ развивается с полной взаимодействующей теорией» и «состояниями Ψ 0 развивается вместе со свободной теорией». Об этом говорится в этом ответе .

В этой статье это также проясняется:

Обычно интересует перекрытие состояний рассеяния, т. е. истинных собственных состояний полного гамильтониана . Поскольку они обычно недоступны, прибегают к состояниям дескриптора и оператору в таких состояниях — С матрица, которая описывает рассеяние и может быть разложена в пертурбативный ряд.

Но я определенно что-то здесь упускаю. Я имею в виду, учитывая любую динамику Вт ( т ) будь то либо U ( т ) или U 0 ( т ) или любой другой, мы можем развивать с ним любое состояние .

Я имею в виду, мы можем в значительной степени рассмотреть U 0 ( т ) Ψ или U ( т ) Ψ 0 . Это заставляет меня задаться вопросом, что именно люди имеют в виду под состояниями, развивающимися в рамках взаимодействующей/свободной теории.

Из цитаты из статьи можно предположить, что они означают «собственные состояния полного гамильтониана» и «собственные состояния свободного гамильтониана».

Но тогда что-то не так в моем понимании. Я имею в виду, если Ψ является собственным состоянием полного гамильтониана, то

ЧАС Ψ "=" Е Ψ

отсюда и эволюция U ( т ) Ψ банально, это просто Ψ ( т ) "=" е − я Е т Ψ и перекрытие с любым другим собственным состоянием равно нулю.

Так что же люди имеют в виду под «состояниями, развивающимися вместе с взаимодействующей теорией» или «состояниями, развивающимися вместе со свободной теорией»? Если речь идет о соответствующих собственных состояниях, то почему эволюция не так тривиальна, как кажется?

Это потому, что полный гамильтониан зависит от времени? Но тогда, например, для потенциального рассеяния с кулоновским потенциалом гамильтониан не зависит от времени В ( р ) "=" г / | р | и кажется, что эволюция действительно будет тривиальной.

Я явно пропускаю что-то действительно основное здесь. Что это такое? В итоге:

  1. Почему люди говорят о «состояниях, развивающихся с теорией свободного/взаимодействующего»? Разве мы не можем использовать любое состояние в качестве начального условия для любой эволюции? Вт ( т ) быть свободным/взаимодействующим?

  2. Как характеризуются эти состояния? Являются ли они собственными состояниями свободного/взаимодействующего гамильтониана? Если да, то почему их эволюция не так тривиальна, как указано в вопросе?

Можете ли вы быть немного более ясным об этом?
@GKA хорошо, я думаю, что вопрос уже ясен. Пытаясь сделать его еще более ясным, я добавил два основных пункта сомнения в простые предложения в конце. Я надеюсь, что это сделает вопрос лучше.

Ответы (1)

В теории рассеяния хотелось бы при большом времени аппроксимировать сложную взаимодействующую эволюцию чем-то более простым, т. е. свободной эволюцией.

Основное физическое обоснование состоит в следующем. Если взаимодействие соответствующим образом локализовано в пространстве и если рассматривать конфигурацию, которая «убегает в бесконечность», т. е. которая с течением времени уходит очень далеко от области, где происходит взаимодействие, то такие конфигурации будут асимптотически вести себя как свободная теория. но с начальным данным, которое вообще отличается от исходного .

Математически говоря, пусть U ( т ) быть взаимодействующей эволюцией, и U 0 ( т ) свободный. Цель состоит в том, чтобы доказать, что для всех (или почти всех) ψ , Существует ψ ± (асимптотическое состояние) такое, что

лим т → ± ∞ ‖ U ( т ) ψ − U 0 ( т ) ψ ± ‖ "=" 0 .
Если это так, то сложная система, описанная U ( т ) ψ можно описать в очень хорошем приближении, если подождать достаточно времени в будущем или прошлом, более простой эволюцией U 0 ( т ) ψ ± . В этом случае говорят, что состояние ψ разбросы с соответствующими асимптотическими состояниями ψ ± .

Поскольку оба U 0 ( т ) и U ( т ) являются унитарными операторами, то вышеприведенное эквивалентно утверждению, что

лим т → ± ∞ ‖ U 0 ( т ) * U ( т ) ψ − ψ ± ‖ "=" 0 .
Другими словами, это сводится к изучению предела в сильной топологии U 0 ( т ) * U ( т ) (а также, наоборот, U ( т ) * U 0 ( т ) ).

Однако есть состояния, для которых сразу видно, что такая сходимость невозможна. Позволять ψ λ быть собственным вектором U ( т ) : U ( т ) ψ λ "=" е − я т λ ψ λ . Затем U 0 ( т ) * U ( т ) ψ λ "=" е я т ( ЧАС 0 − λ ) ψ λ , и такой вектор имеет сильный предел в виде т → ± ∞ если и только если ψ λ также является собственным вектором ЧАС 0 с собственным значением λ . Однако физически маловероятно, что взаимодействующая и свободная теории, которые сравниваются, имеют общие собственные значения и собственные векторы, и поэтому следует избавиться от таких собственных векторов теории. U ( т ) , чтобы доказать сильную сходимость U 0 ( т ) * U ( т ) (поскольку эти состояния явно не разбросаны). Обычно это делается, проецируясь за пределы чистого точечного спектра U ( т ) . Физически это также означает, что для гамильтонианов с чисто точечным спектром нет рассеяния состояний, и это связано с тем, что в этом случае состояния не могут покинуть область, где есть взаимодействие (гамильтонианы с чисто точечным спектром описывают ловушки). Обратное верно и для U * ( т ) U 0 ( т ) , но обычно свободная эталонная динамика U 0 ( т ) выбирается таким образом, чтобы он имел чисто непрерывный спектр (например, гамильтониан свободных частиц), и поэтому его не нужно проектировать за пределы чисто точечного спектра, так как последний пуст.

Спасибо за ответ @yuggib. Итак, мы берем одно собственное состояние Ψ 0 свободного гамильтониана. Такое состояние по определению описывает систему, свободную от взаимодействия. Затем мы определяем состояния, эволюционирующие с взаимодействующей динамикой, в точности как те, для которых существуют свободные состояния, так что выполняется предельное тождество. Другими словами, мы определяем такие состояния как состояния вида Ом − Ψ 0 действующий на собственные состояния свободного гамильтониана?
@user1620696 user1620696 Ну, на самом деле совсем наоборот. Собственные состояния (любого ЧАС 0 или ЧАС ) — это именно состояния, для которых мы априори знаем , что они не будут рассеиваться (т. е. для которых приближение рассеяния не работает). Теория рассеяния делается точно за пределами чисто точечного спектра обоих ЧАС 0 и ЧАС . Обычно однако, ЧАС 0 не имеет собственных значений и собственных векторов, и поэтому следует позаботиться только об исключении собственных значений взаимодействующего гамильтониана ЧАС .
Теория рассеяния — это теория аппроксимации: цель состоит в том, чтобы аппроксимировать данную (обычно сложную) эволюцию более простой. Это приближение справедливо только асимптотически во времени и «оно меняет начальное условие» (в том смысле, что взаимодействующая эволюция одного состояния аппроксимируется свободной эволюцией другого состояния). Кроме того, аппроксимация справедлива только для состояний, которые «убегают» в течение длительного времени. И собственные векторы никогда не исчезают.
извините, я использовал неточную терминологию, под собственным состоянием свободного гамильтониана я имел в виду неправильный | п ⟩ , но я не должен был использовать эту терминологию, потому что это не истинное собственное состояние (это даже не элемент гильбертова пространства). Итак, ваша точка зрения такова: собственные состояния (истинные, соответствующие точечному спектру) описывают связанные состояния и не рассеиваются - предел не может соблюдаться, поскольку они не могут выглядеть свободными в асимптотические времена, когда они связаны. Таким образом, они непригодны для использования с приближением рассеяния. Это ваша точка зрения относительно собственных состояний?
@user1620696 user1620696 да, это именно то, что я хочу сказать о собственных состояниях.
Что люди подразумевают под «состоянием, развивающимся с взаимодействующей/свободной теорией»?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v