Почему гамильтониан в КТП является генератором временной эволюции?

В нерелятивистской квантовой механике можно вывести, что оператор перевода времени, действующий на квантовые состояния, определяется (в натуральных единицах) выражением

е − я ЧАС т ,
где ЧАС является оператором Гамильтона. Это показывает, что гамильтониан действительно является генератором сдвигов времени.

В квантовой теории поля (КТП) гамильтониан также кажется генератором временных трансляций. (У меня была лекция об этом на этой неделе.) Эволюция времени в картине Шредингера теперь дается формулой

(1) ψ ( Икс → , 0 ) | 0 ⟩ → е − я ЧАС т ψ ( Икс → , 0 ) | 0 ⟩
для свободного скалярного поля ψ , сказать. Или, на картинке Гейзенберга, мы можем отобразить эволюцию времени с помощью
(2) ψ ( Икс → , т ) "=" е − я ЧАС т ψ ( Икс → , 0 ) е я ЧАС т
что на самом деле более общее, чем (1). Мой вопрос заключается в следующем.

Как можно вывести, что временная эволюция в КТП задается формулой (1) или (2)? я знаю это ЧАС — сохраняющийся заряд, соответствующий перемещению во времени, поэтому ответ можно было бы начать с этого факта. Но если в ответе говорится, что сохраняющийся заряд симметрии всегда является генератором симметрии, я был бы признателен за доказательство/вывод этого.

Я запутался в вашем вопросе. Квантовая теория поля — это особый вид квантово-механической теории, поэтому принципы у нее те же. ЧАС генерирует перевод времени по той же причине, что и раньше, и, конечно, уравнение Шредингера все еще работает.
Кроме того, вам нужно быть осторожным с вашими обозначениями. (Квантовое) скалярное поле не является функцией ψ ( Икс → ) , это работает только для классического случая.
В дополнение к тому, что говорит knzhou (гамильтониан по определению является генератором перевода времени), меня смущает ваше уравнение. (1). Да, ЧАС генерирует временные переводы, а по пространству состояний и полю ψ ( Икс ) является оператором в этом пространстве, а не самим состоянием, поэтому ур. (1) неправильно.
@knzhou Спасибо за звонок, вы абсолютно правы. Я отредактировал свой вопрос. Но ты говоришь ЧАС генерирует переводы времени по той же причине, что и раньше. Так в чем была причина раньше? Единственная известная мне причина заключается в том, что его можно вывести из уравнения Шредингера, чего в КТП мы сделать не можем.
То, что каждый сохраняющийся заряд порождает соответствующую ему симметрию, является гамильтоновым утверждением обратной теоремы Нётер и не относится к квантовой теории поля. См. этот отличный ответ Qmechanic для доказательства обратной теоремы Нётер.
@ACuriousMind Звучит интересно. Я посмотрю на это.
Однако КТП подчиняется уравнению Шредингера. Кто вам сказал, что это не так?
@knzhou Итак, вы говорите, что векторы состояния в QFT действительно все еще подчиняются уравнению Шредингера? Насколько я понял, они удовлетворяли уравнению Клейна-Гордона или чему-то подобному; но если подумать, я не так уверен.
Под уравнением Шредингера @knzhou подразумевает уравнение для вектора состояния, которое является функционалом конфигурации поля во всех точках, т.е. Ψ [ ф ( Икс ) ] . Это следует отличать от волновой функции на «первоквантованном» языке, который теперь стал квантовым полем. ф ( Икс ) и в классическом пределе удовлетворяет условию Клейна-Гордона. Утверждение «КТП удовлетворяет уравнению Шредингера» просто эквивалентно « ЧАС является генератором перевода времени».
Чтобы решить вашу загадку, я думаю, что самый полезный способ - не ждать отличного ответа здесь. Просто возьмите любую книгу по КТП, прочитайте раздел о теореме Нётер, возьмите выражение для Т 0 ν , чей ∫ г 3 Икс Т 00 компонент ЧАС , и докажите уравнение Гейзенберга я ∂ т ф ( Икс ) "=" [ ф ( Икс ) , ЧАС ] . Перейдите к картинке Шредингера, это уравнение Шредингера, хотя никто на самом деле не использует уравнение Шредингера в КТП. Вы также можете показать п → является генератором пространственного перевода.

Ответы (3)

Ваша картинка не совсем правильная. В КТП то, что было волновой функцией, становится наблюдаемым оператором, и Икс понижается до параметра того же уровня, что и т . Эволюция оператора во времени не определяется формулой е − я ЧАС т , это эволюция вектора состояния. Операторы развиваются в картине Гейзенберга в соответствии с:

ψ ( т , Икс ) "=" е − я ЧАС т ⁡ ψ ( 0 , Икс ) е я ЧАС т .
Однако вы можете пойти дальше и добавить генераторы пространственного перевода, чтобы получить:
ψ ( т , Икс ) "=" е − я п мю Икс мю ⁡ ψ ( 0 ) е я п мю Икс мю ,
в ( + , − , − , − ) метрика подписи.

Здесь происходит то, что большинство трактовок КТП выходят за пределы вектора состояния, необходимого для трактовки Шрёдингера. Этот вектор состояния по-прежнему подчиняется уравнению типа Шредингера, просто его нужно представить в терминах функционального анализа, а не обычного исчисления.

Например, свободное вещественное скалярное поле имеет лагранжеву плотность:

л "=" 1 2 ∂ мю ф ∂ мю ф − м 2 2 ф 2 .
Импульс канонически сопряжен с ф является π ≡ ∂ л ∂ ф ˙ "=" ф ˙ . Это дает гамильтониан обычным способом:
ЧАС "=" ∫ г 3 ⁡ Икс [ 1 2 π 2 + 1 2 ( ∇ ф ) 2 + м 2 2 ф 2 ] .
Поля теперь продвигаются к операторам, которые подчиняются каноническим коммутационным соотношениям равного времени, [ ф ( Икс ) , π ( у ) ] "=" я дельта ( Икс − у ) . Вектор состояния теперь должен задавать плотность вероятности на единицу объема функционального пространства ( [ Д ф ] ), к каждой отдельной конфигурации, которую поле может принять в любой момент времени. Это известно как волновой функционал, обозначаемый Ψ [ ф ] . Из канонических коммутационных соотношений следует, что Ψ подчиняется уравнению типа Шрёдингера:
∫ г 3 ⁡ Икс [ − 1 2 дельта 2 Ψ дельта ф ( Икс ) 2 + 1 2 ( ∇ ф ) 2 Ψ + м 2 2 ф 2 Ψ ] "=" я ∂ Ψ ∂ т .
Это уравнение, конечно, представляет собой простой гармонический осциллятор, для которого мы можем обычным образом (после перехода в пространство Фурье) построить повышающий и понижающий операторы. Основное состояние задается функционалом Гаусса:
Ψ 0 [ ф ] ∝ опыт ⁡ ( − 1 2 ∫ г 3 ⁡ к [ [ ф ( к ) ] 2 к 2 + м 2 ] ) ,
с возбужденными состояниями, построенными с помощью повышающих операторов, а † ( к ) "=" к 2 + м 2 4 4 [ ф ( к ) − я к 2 + м 2 π ( к ) ] , обычным способом.

Я могу только предположить, что КТП не преподается таким образом в большинстве учебников по двум причинам. Во-первых, КТП в основном используется для вычисления амплитуд рассеяния, а другие формализмы легче получить результаты. Во-вторых, с бесконечностями, изводящими КТП и требующими перенормировки, может быть еще труднее справиться в этом формализме. Эта статья Лонга и Шора 1996 года является одним из примеров того, как профессионалы используют этот формализм.

Спасибо за развернутый ответ. Что я действительно пытаюсь выяснить, так это то, откуда на самом деле берется уравнение временной эволюции в картине Гейзенберга, о которой вы говорите. Или общий оператор преобразования координат, если уж на то пошло.
Оператор эволюции во времени должен быть унитарным по определению вектора состояния как амплитуды вероятности, ⟨ ψ | ψ ⟩ "=" 1 . Это требование, а также требование непрерывности эволюции во времени приводит непосредственно к уравнению Шредингера через теорию групп Ли. То, что гамильтониан является генератором сдвига времени, в конечном счете следует из принципа соответствия. Если вам нужно очень тщательное исследование, я рекомендую Вайнберга «Квантовая теория полей, том I» , особенно глава 2.

Простая причина в том, что именно так это работает для волн. В основе квантовой механики лежит использование той же структуры, что и для волн, и для материи. Планк показал, что кванты света имеют энергии, равные h ν , поэтому эволюция волн определяется выражением е − я Е / ℏ   т . Приносим это к частицам материи и вуаля.

Рассмотрим систему в состоянии | ψ ⟩ . Алиса использует набор базовых состояний ⟨ а | . Состояние системы имеет компоненты ⟨ а | ψ ⟩ в системе отсчета Алисы. Боб использует базисные состояния ⟨ а ′ | которые связаны с базисом Алисы унитарным преобразованием координат ⟨ а ′ | "=" ⟨ а | U ^ . В системе отсчета Боба система | ψ ⟩ имеет компоненты ⟨ а ′ | ψ ⟩ "=" ⟨ а | U ^ | ψ ⟩ . Мы можем думать о системе как о находящейся в фиксированном состоянии. | ψ ⟩ а Алиса использует "топоры" ⟨ а | а Боб использует «повернутые оси» ⟨ а ′ | "=" ⟨ а | U ^ . Это пассивная точка зрения. В качестве альтернативы Боб может думать о своих компонентах ⟨ а ′ | ψ ⟩ "=" ⟨ а | U ^ | ψ ⟩ "=" ⟨ а | ( U ^ | ψ ⟩ ) как результат изменения состояния от | ψ ⟩ к | ψ ′ ⟩ "=" U ^ | ψ ⟩ относительно фиксированной базы ⟨ а | . Это активная точка зрения. Обе точки зрения равнозначны.

Давайте воспользуемся активной точкой обзора, чтобы увидеть, как оператор О ^ трансформируется. Алиса подготавливает систему к состоянию | ψ ⟩ . Боб видит эту систему в состоянии | ψ ′ ⟩ "=" U ^ | ψ ⟩ . Алиса действует на состояние с оператором О ^ производить О ^ | ψ ⟩ . Боб видит новое состояние как U ^ ( О ^ | ψ ⟩ ) "=" U ^ О ^ U ^ − 1 U ^ | ψ ⟩ "=" ( U ^ О ^ U ^ − 1 ) U ^ | ψ ⟩ "=" ( U ^ О ^ U ^ − 1 ) | ψ ′ ⟩ . Другими словами, оператор Алисы О ^ появляется Бобу как оператор О ^ ′ "=" U ^ О ^ U ^ − 1 .

Унитарное преобразование координат подчиняется U ^ † "=" U ^ − 1 . Отсюда следует, что бесконечно малое унитарное преобразование координат можно записать U ^ "=" 1 − я ϵ г ^ где ϵ является бесконечно малым числом и г ^ является эрмитовым (доказательство: U ^ † "=" ( 1 − я ϵ г ^ ) † "=" 1 + я ϵ г ^ "=" ( ^ U ) − 1 ). Знак ϵ является собственной условностью. Конечное унитарное преобразование производится суммированием Н небольшие преобразования. U ^ "=" ( 1 − я ϵ г ^ ) Н "=" е − я Н ϵ г ^ "=" е − я т г ^ где конечный параметр т "=" Н ϵ . Состояние теперь трансформируется (активно) как | ψ ′ ⟩ "=" е − я т г ^ | ψ ⟩ и оператор преобразуется (активно) как О ^ ′ "=" е − я т г ^ О ^ е я т г ^ . В квантовой механике унитарные операторы соответствуют каноническим преобразованиям в классической механике. Эрмитовы операторы г ^ соответствуют генераторам канонических преобразований в классической механике. В классической механике функция Гамильтона ЧАС является генератором сдвига времени, поэтому унитарное преобразование координат, соответствующее смещению времени, имеет вид U ^ "=" е − я т ЧАС ^ .

Почему гамильтониан в КТП является генератором временной эволюции?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v