Существует ли унитарное преобразование, при котором гамильтониан в нестационарном уравнении Шрёдингера становится вещественно-симметричным?

Question

Существует ли унитарное преобразование, при котором гамильтониан в нестационарном уравнении Шрёдингера становится вещественно-симметричным?

Почувствуй мою черную дыру

Зависящее от времени уравнение Шрёдингера имеет вид (с $\hbar=1$ ):

я \frac{г}{г т} ψ (т) "=" ЧАС (т) ψ (т),

$i\dfrac{d}{dt}\psi(t)=H(t)\psi(t)\ ,$ где

ψ

$\psi$ - некоторый нормализованный вектор-столбец и

H (t)

$H(t)$ является эрмитовой матрицей с элементами, зависящими от времени.

Позволять $\Psi(t)=U(t)\psi(t)$ , где $U(t)$ является унитарным. Можно показать, что зависящее от времени уравнение Шредингера в терминах $\Psi$ можно записать как:

я \frac{г}{г т} Ψ (т) "=" [U ЧАС U^{- 1} - я U \dot{(U^{- 1})}] Ψ (т),

$i\dfrac{d}{dt}\Psi(t)=\left[UHU^{-1}-iU\dot{\left(U^{-1}\right)}\right]\Psi(t)\ ,$ где точка указывает на поэлементную производную по времени. Можно ли найти

U

$U$ такой, что этот новый гамильтониан

U H U^{- 1} - i U \dot{(U^{- 1})}

$UHU^{-1}-iU\dot{\left(U^{-1}\right)}$ действительно симметричен?

Простое решение можно найти, когда $H$ равно 2 x 2, если предположить, что $U$ является диагональным. Но этот метод не подходит для случаев более высоких размерностей. Можно ли это сделать на каких-то особых условиях? Можно ли это сделать, если $U$ обратимо, но не обязательно унитарно?

Я подтвердил, что это возможно для случая 3x3, выполнив вычисление грубой силы, используя параметрическую форму для специальной унитарной матрицы 3x3.

K_инверсия

Выбирать

U

$U$ где каждый столбец представляет собой энергию собственных состояний

H

$H$ . По существу, диагонализовать гамильтониан.

Почувствуй мою черную дыру

@K_inverse, который работает, только если

U

$U$ не зависит от времени, но здесь доп.

- i U \dot{(U^{- 1})}

$-iU\dot{\left(U^{-1}\right)}$ термин портит это.

Нуаралеф

Я ожидаю, что это сработает, поскольку унитарное

U

$U$ имеет

n^{2}

$n^2$ степеней свободы и делает

U H U^{†} + i \dot{U} U^{†}

$UHU^\dagger + i \dot U U^\dagger$ реально только

n^{2} / 2 - n / 2

$n^2 / 2 - n / 2$ условия. Но у меня нет доказательств.

Нуаралеф

Или скорее,

n^{2} - 1

$n^2 - 1$ потому что глобальная фаза ничего не делает. Обратите внимание, что диагональное унитарное

U

$U$ имеет только

n - 1

$n-1$ dof, поэтому он не должен работать ни в

n > 2

$n>2$ .

Почувствуй мою черную дыру

@Noiralef Я думал, что аргумент степени свободы работает, только если неизвестные переменные находятся в линейной системе. Если элементы

U

$U$ не являются биективными функциями, то этот аргумент может легко потерпеть неудачу.

Нуаралеф

Да это верно! Я просто хотел сказать: я не могу доказать, что это возможно, но мне кажется, что это возможно.

Ответы (1)

Существует ли унитарное преобразование, при котором гамильтониан в нестационарном уравнении Шрёдингера становится вещественно-симметричным?

Выбирать $U$ где каждый столбец представляет собой энергию собственных состояний $H$ . По существу, диагонализовать гамильтониан.
@K_inverse, который работает, только если $U$ не зависит от времени, но здесь доп. $-iU\dot{\left(U^{-1}\right)}$ термин портит это.
Я ожидаю, что это сработает, поскольку унитарное $U$ имеет $n^2$ степеней свободы и делает $UHU^\dagger + i \dot U U^\dagger$ реально только $n^2 / 2 - n / 2$ условия. Но у меня нет доказательств.
Или скорее, $n^2 - 1$ потому что глобальная фаза ничего не делает. Обратите внимание, что диагональное унитарное $U$ имеет только $n-1$ dof, поэтому он не должен работать ни в $n>2$ .
@Noiralef Я думал, что аргумент степени свободы работает, только если неизвестные переменные находятся в линейной системе. Если элементы $U$ не являются биективными функциями, то этот аргумент может легко потерпеть неудачу.
Да это верно! Я просто хотел сказать: я не могу доказать, что это возможно, но мне кажется, что это возможно.

тпаркер · Answer 1

Да, это можно сделать вообще каким-то тривиальным способом. Позволять $U$ быть $V^\dagger$ , где $V$ является оператором эволюции во времени. Уравнение Шредингера дает, что $i \frac{dV}{dt} = H V$ , так

U ЧАС U^{†} - я U \frac{г U^{†}}{г т} "=" В^{†} ЧАС В - я В^{†} \frac{г В}{г т} "=" В^{†} ЧАС В - В^{†} ЧАС В "=" 0,

$U H U^\dagger - i U \frac{dU^\dagger}{dt} = V^\dagger H V - i V^\dagger \frac{dV}{dt} = V^\dagger H V - V^\dagger H V = 0,$ нулевая матрица заведомо вещественно-симметрична. Это работает независимо от того, зависит ли гамильтониан от времени.

Существует ли унитарное преобразование, при котором гамильтониан в нестационарном уравнении Шрёдингера становится вещественно-симметричным?

Почувствуй мою черную дыру

K_инверсия

Почувствуй мою черную дыру

Нуаралеф

Нуаралеф

Почувствуй мою черную дыру

Нуаралеф

Ответы (1)

тпаркер

Как согласовать два разных вывода независимого от времени уравнения Шрёдингера?

Общее решение состояний зависящего от времени гамильтониана

Эволюция времени в абстрактном пространстве состояний квантовой механики

Уравнение Шредингера для зависящего от времени гамильтониана и сопряжения

Почему оператор эволюции во времени является унитарным?

Есть ли в гильбертовом пространстве состояния, не являющиеся решениями гамильтониана?

Решение нестационарного уравнения Шредингера для унитарного оператора

Что такое «картинка» в квантовой механике?

Является ли это доказательством водонепроницаемости Гриффита? [дубликат]

Как базовые наборы удовлетворяют уравнению Шредингера в картине Шредингера и почему они не меняются со временем?