Уравнение Пескина и Шредера (4.26), U(t1,t2)U(t2,t3)=U(t1,t3)U(t1,t2)U(t2,t3)=U(t1,t3)U(t_1,t_2)U( t_2,t_3) = U(t_1,t_3) подразумевает, что [H0,Hint]=0[H0,Hint]=0[H_0,H_{int}] = 0?

Уравнение Пескина и Шредера (4.17) определяет оператор

(4.17) U ( т , т 0 )   "="   е я ( т − т 0 ) ЧАС 0 е − я ( т − т 0 ) ЧАС
где
(4.12) ЧАС   "="   ЧАС 0 + ЧАС инт
является полным гамильтонианом и ЧАС 0 является свободным Гамильтоном, как в картине Шредингера. В уравнении (4.26) Пескин и Шредер утверждают, что оператор удовлетворяет следующему тождеству:
(4.26) U ( т 1 , т 2 ) U ( т 2 , т 3 )   "="   U ( т 1 , т 3 )
где т 1 ≥ т 2 ≥ т 3 . Означает ли это, что свободный гамильтониан коммутирует с взаимодействием
[ ЧАС 0 , ЧАС инт ]   "="   0   ?
Вот мой аргумент, что это так.

В состоянии т 1 ≥ т 2 ≥ т 3 брать т 2 "=" 0 . Идентичность тогда,

U ( т 1 , 0 ) U ( 0 , т 3 ) "=" U ( т 1 , т 3 )   .
Подставьте определение,
е я т 1 ЧАС 0 е − я т 1 ЧАС е − я т 3 ЧАС 0 е я т 3 ЧАС "=" е я ( т 1 − т 3 ) ЧАС 0 е − я ( т 1 − т 3 ) ЧАС
и упростить получение,
е − я т 1 ЧАС е − я т 3 ЧАС 0 "=" е − я т 3 ЧАС 0 е − я т 1 ЧАС
с т 1 ≥ 0 ≥ т 3 . Помещать т 1 "=" т и т 3 "=" − т .
е − я т ЧАС е я т ЧАС 0 "=" е я т ЧАС 0 е − я т ЧАС
Расширение до второго порядка в т ,
( 1 − я т ЧАС − т 2 2 ЧАС ЧАС ) ( 1 + я т ЧАС 0 − т 2 2 ЧАС 0 ЧАС 0 ) "=" ( 1 + я т ЧАС 0 − т 2 2 ЧАС 0 ЧАС 0 ) ( 1 − я т ЧАС − т 2 2 ЧАС ЧАС )
приводит к,
ЧАС ЧАС 0 "=" ЧАС 0 ЧАС
так что [ ЧАС 0 , ЧАС ] − "=" 0 . Сейчас ЧАС "=" ЧАС 0 + ЧАС я н т поэтому свободный гамильтониан должен коммутировать с взаимодействием.
[ ЧАС 0 , ЧАС я н т ] − "=" 0
У Пескина и Шредера контекстом для этого материала является самодействующее скалярное поле с гамильтонианом,
ЧАС "=" ∫ г 3 Икс ( 1 2 π ( т , Икс ) 2 + 1 2 ∂ ф ∂ Икс р ∂ ф ∂ Икс р + В ( ф ) )   .
В классической теории ПБ есть,
[ ЧАС 0 , ЧАС я н т ] п Б "=" − ∫ г 3 Икс дельта ЧАС 0 дельта π дельта ЧАС я н т дельта ф "=" − ∫ г 3 Икс   π г В г ф "=" − г г т ∫ г 3 Икс   В ( ф ( т , Икс ) )
Переходя к квантовой теории,
[ ЧАС 0 , ЧАС я н т ] − "=" − я г г т ∫ г 3 Икс   В ( ф ( т , Икс ) )
так что [ ЧАС 0 , ЧАС я н т ] − "=" 0   следует интеграл от В ( ф ) – сохраняющийся заряд; это тоже правильный результат?

таких требований нет ЧАС 0 и ЧАС я н т . Это должно быть опечатка --- правильное определение оператора эволюции в картине взаимодействия е − я ЧАС т сопряжено е − я ЧАС 0 т .
Я считаю, что это опечатка.
Это не удается уже с простыми безмассовыми ф 4 теория. Четко, ф 4 нельзя ездить с Π ф , и поэтому он не будет коммутировать с гамильтонианом.
«Означает ли это, что свободный гамильтониан коммутирует с взаимодействием [H0,Hint]=0?» Нет.

Ответы (3)

Ссылка 1 пишет правильную формулу

(4.25) U ( т , т ′ )   "="   е я ЧАС 0 ( т − т 0 ) е − я ЧАС ( т − т ′ ) е − я ЧАС 0 ( т ′ − т 0 ) , т   ≥   т ′ ,

который удовлетворяет

(4.26) U ( т 1 , т 2 ) U ( т 2 , т 3 )   "="   U ( т 1 , т 3 ) , т 1   ≥   т 2   ≥   т 3 .

Здесь т 0 является произвольным, но фиксированным реперным начальным моментом, когда все операторы и состояния в картине Шредингера , картине Гейзенберга и картине взаимодействия согласуются. Для т ≠ т 0 , три изображения больше не совпадают, хотя они по-прежнему унитарно эквивалентны.

Для т ′ "=" т 0 , экв. (4.25) упрощается до

(4.17) U ( т , т 0 )   "="   е я ЧАС 0 ( т − т 0 ) е − я ЧАС ( т − т 0 ) .

Похоже, что OP по ошибке заменяет т 0 в уравнении (4.17) с произвольным временем т ′ ≤ т . Полученное уравнение

U ( т , т ′ )   "="   е я ЧАС 0 ( т − т ′ ) е − я ЧАС ( т − т ′ ) . ( ← Неправильный! )

не правильно .

Использованная литература:

  1. М. Е. Пескин и Д. В. Шредер, Введение в QFT; Раздел 4.2.

Дело в том, что

(1) U я ( т 1 , т 2 ) U я ( т 2 , т 3 ) "=" U я ( т 1 , т 3 )
в картине взаимодействия не зависит от ЧАС 0 и ЧАС инт коммутирует, но может быть выведен без этого предположения из уравнения Томонаги-Швингера
я ∂ т U я ( т , т 0 ) "=" ЧАС я ( т ) U я ( т , т 0 )
с ЧАС я ( т ) "=" е я ЧАС 0 т ЧАС инт е − я ЧАС 0 т как ЧАС инт эволюционировал ЧАС 0 и что это уравнение имеет решение в ряду Дайсона
U я ( т , т 0 ) "=" Т опыт ⁡ ( − я ∫ т 0 т ЧАС я ( т ′ ) г т ′ )
из которого ( 1 ) можно показать.

Версия U я данный Пескиным-Шредером (и некоторыми другими, скопировавшими у них, предположительно) неверен, правильная версия -

U я ( т , т 0 ) "=" е я ЧАС 0 т е − я ЧАС ( т − т 0 ) е − я ЧАС 0 т 0
что следует из ψ я ( т ) "=" е я ЧАС 0 т ψ С ( т ) и ψ я ( т ) "=" U я ( т , т 0 ) ψ я ( т 0 ) , где С обозначает состояния Шрёдингера. Это, очевидно, также выполняет ( 1 ) без дополнительных предположений.

Во-первых, вы взяли разложения Тейлора второго порядка е − я т ЧАС и е − я т ЧАС 0 , поэтому, если ваши следующие расчеты были правильными, ЧАС и ЧАС 0 будут коммутировать друг с другом только до второго порядка времени т , не для всех порядков т (или просто примерно добираться).

Второй, для 4 операторов А , Б , ЧАС , К :

А ЧАС Б "=" А К Б → А ( ЧАС − К ) Б "=" 0.
Из этого соотношения можно вывести ЧАС "=" К если (и только если) для всех A, B (H, K остаются неизменными) указанное выше соотношение всегда выполняется. В ваших расчетах
А "=" е я т 1 ЧАС 0 , Б "=" е я т 3 ЧАС , ЧАС "=" е − я т 1 ЧАС е − я т 3 ЧАС 0 , К "=" е − я т 3 ЧАС 0 е − я т 1 ЧАС
Мы видим, что, А и К здесь связаны друг с другом (также для Б и ЧАС ). Таким образом, из приведенного выше условия мы не можем вывести ЧАС "=" К .

Значит, ваш результат неверен.

А и Б иметь инверсии. Итак, начиная с А ЧАС Б "=" А К Б , А − 1 А ЧАС Б Б − 1 "=" А − 1 А К Б Б − 1 подразумевает ЧАС "=" К .
Кроме того, для вашего первого пункта равенство степенных рядов выполняется для всех т , и нет других членов второго порядка из разложений более высокого порядка. Так как для двух сходящихся рядов ∑ н а н т н "=" ∑ н б н т н ∀ т если и только если а н "=" б н , аргумент в OP будет правильным (он использует а 2 "=" б 2 ), если заданная форма U я были правильными.
Уравнение Пескина и Шредера (4.26), U(t1,t2)U(t2,t3)=U(t1,t3)U(t1,t2)U(t2,t3)=U(t1,t3)U(t_1,t_2)U( t_2,t_3) = U(t_1,t_3) подразумевает, что [H0,Hint]=0[H0,Hint]=0[H_0,H_{int}] = 0?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v