Что не так с этим модифицированным действием Эйнштейна-Гильберта первого порядка?

Действие Эйнштейна-Гильберта:

С Е ЧАС "=" 1 2 κ ∫ − г г а б ( Г с а б , с − Г с а с , б + Г д а б Г с с д − Г д а с Г с б д ) д 4 Икс

Содержит вторые производные от г поскольку символы Кристоффеля содержат производные от г но с помощью интегрирования по частям его можно привести к виду только с первыми производными метрического тензора:

С Е ЧАС ′ "=" 1 2 κ ∫ ( − Г с а б ∂ с ( − г г а б ) + Г с а с ∂ б ( − г г а б ) + − г г а б ( Г д а б Г с с д − Г д а с Г с б д ) ) д 4 Икс .

Это эквивалентно? Я иногда читаю о «поверхностных терминах», но не уверен, что это значит.

Когда вы работаете, это:

С Е ЧАС ′ "=" 1 8 κ ∫ − г ( г а б г д е г с ф + 2 г а с г б ф г д е + 3 г а д г б е г с ф − 6 г а д г б ф г с е ) ∂ с г а б ∂ ф г д е д Икс 4
(Хотя я мог ошибиться в некоторых константах). Мне нравится эта форма, потому что она похожа на действие Максвелла:
С М "=" 1 2 ∫ − г ( г а с г б д − г а д г б с ) ∂ а А б ∂ с А д д Икс 4

Поверхностный член, которым они отличаются, включает в себя как метрику, так и ее производную, и вы не можете зафиксировать и метрику, и ее производную на границе, поэтому два действия различаются поверхностным членом, который технически не может быть установлен равным нулю. Если мы рассмотрим действие EH с добавленным граничным членом GHY, то они эквивалентны. С точки зрения формального вариационного исчисления полные расходимости находятся в ядре оператора Эйлера-Лагранжа и уравнения движения от двух действий совпадают.
@Bence Если они не эквивалентны, то как мы узнаем, какой из них «правильный»?
@zooby калибровочная инвариантность GR такова, что вы получаете гамильтониан, который равен нулю везде, кроме границы, поэтому при выполнении преобразования Лежандра нельзя наивно отбрасывать граничные члены - они содержат нетривиальную информацию.
1) Если мы воспримем вариационную задачу «буквально», а не «формально», то действие EH будет правильным только в том случае, если мы добавим член GHY, который делает их равными. 2) Если нас интересуют только классические EoM, то они производят такие же EoM.
Зачем нужен термин GHY? Разве пространство не бесконечно без границ?
Пожалуйста, поместите эту информацию в ответ.

Ответы (1)

  1. 1-е (2-е) действие ОП является (не является) ковариантным/геометрическим соответственно. Второе действие ОП преобразуется с граничным членом при общих преобразованиях координат.

  2. Причина граничного термина GHY в первую очередь объясняется, например, в этом посте Phys.SE.

  3. ОП спрашивает в комментарии:

    Зачем нужен термин GHY? Разве пространство не бесконечно без границ?

    При выводе уравнений Эйлера-Лагранжа (ЭЛ) из вариационного принципа нам необходимо интегрировать по частям. Мы не можем этого сделать, если не установим граничные условия (или условия спада) на пространственной бесконечности.

Что не так с этим модифицированным действием Эйнштейна-Гильберта первого порядка?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v