Необходимость пограничного члена Гиббонса-Хокинга-Йорка (GHY)

Фундаментальный вопрос моего вопроса заключается в том, нужен ли вообще термин GHY-граница в общей теории относительности, и если да, то почему он таков и каков его физический смысл.

Несколько моментов:

• Несмотря на появление интеграла, вариационный принцип является локальным. Предположить, что$\mathcal{D}$является регулярной областью пространства-времени, и в интеграле действия мы интегрируем по$\mathcal{D}$. Обычно утверждается, что мы можем требовать вариации$\delta g^{\mu\nu}$исчезнуть снаружи$\mathcal{D}$, но мы не можем сделать$\nabla_\sigma\delta g^{\mu\nu}$исчезнуть. Однако, если$\delta g^{\mu\nu}$тождественно исчезает снаружи$\mathcal{D}$, то обращаются в нуль и его производные, разве что только на границе. Но тогда мы расширяем$\mathcal{D}$к (символически) "$\mathcal{D}+\epsilon$", то теперь и производные обращаются в нуль на границе. Что-нибудь не так с этим рассуждением?

• Существуют ли какие-либо физические приложения граничного термина GHY? Единственное, что я знаю, это то, что условия перехода Израиля могут быть получены из вариационного принципа, но этот вывод использует граничный член (см., например, https://arxiv.org/abs/gr-qc/0108048 и https:// arxiv.org/abs/1206.1258 ). Однако условия соединения могут быть получены и без этого (например, с использованием исходного члена дельта-функции).

• Уравнения поля Эйнштейна можно получить и из формализма Палатини, однако в этом случае$g^{\mu\nu}$и$\Gamma^\sigma_{\mu\nu}$являются отдельными переменными конфигурации, поэтому исчезновение обоих$\delta g$и$\delta\Gamma$можно задать на границе. Но тогда нет граничного термина для добавления действия.

С учетом этих моментов необходим ли термин GHY? Если да, то есть ли в этом какой-то физический смысл? Почему тогда формализм Палатини этого не требует?

Если нет, то зачем вообще с этим заморачиваться?