Итого производные в GR

Без гравитации мы можем легко переключаться между членами лагранжиана, такими как ∂ ф ∂ ф ¯ и ф ◻ ф ¯ , так как полная производная равна нулю. Но в GR у нас есть дополнительные е ≡ − г множитель, при котором обычная производная не обращается в нуль ∂ е ≠ 0 . Правильно ли, что в этом случае мы введем дополнительный термин ф ∂ ф ¯ ∂ е , при переключении между ∂ ф ∂ ф ¯ и ф ◻ ф ¯ ? И какой из этих двух входит в лагранжиан?

Ответы (2)

Ковариантная дивергенция вектора равна

∇ мю В мю "=" ∂ мю ( В мю − г ) − г

Это означает, что добавление ковариантной дивергенции к лагранжиану приведет к следующему изменению:

Δ С "=" ∫ г 4 Икс − г ∇ мю В мю "=" ∫ г 4 Икс ∂ мю ( В мю − г )

в котором снова легко убедиться, что он обращается в нуль при интегрировании по частям. Как и в большинстве других вещей в общей теории относительности, замена ∂ → ∇ заставляет это все еще работать нормально.

Я вижу, что я пропустил сейчас. Я рассматривал только производные скаляров, для которых ∂ ≡ ∇ . Итак, в моем примере вектор ф ∂ ф ¯ . Спасибо, это помогло.

ОП наблюдает, что в пространстве Минковского г мю ν "=" η мю ν , неважно, пишем ли мы

(1) л   "="   | г | ∂ ф ∂ ф ¯
или
(2) л   "="   − | г | ф ◻ ф ¯
для лагранжевой плотности, если мы не заботимся о членах полной дивергенции. ОП размышляет о том, что происходит в искривленном пространстве-времени. ( М , г ) ? На самом деле оба уравнения. (1) и (2) по-прежнему применимы, если мы интерпретируем поле ◻ как оператор Лапласа-Бельтрами ( М , г ) . Конечно, любая другая интерпретация не была бы геометрически правильной.

Моей ошибкой было заменить ∇ с ∂ , предполагая, что я работаю со скалярами, когда на самом деле ф ∂ ф ¯ теперь является вектором, поэтому я должен использовать ковариантную производную. Глупая ошибка на самом деле. Теперь я вижу, что эти два термина все еще одинаковы в ОТО.
Итого производные в GR
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v