Что не так с этим выводом, что iℏ=0iℏ=0i\hbar = 0?

Оба оператора p и x как операторы не имеют собственных векторов в строгом смысле. У них есть собственные векторы распределения, которые определены только в большем пространстве функций, чем пространство нормируемых квадратом волновых функций, и которые следует рассматривать как значимые только тогда, когда они немного размыты гладкой тестовой функцией.

Нормализация для$\langle \psi_p | \psi_p \rangle$бесконечно, потому что p-волна распространяется на все пространство. Точно так же нормализация волновой функции дельта-функции, собственного вектора оператора x, бесконечна, потому что квадрат дельта-функции имеет бесконечный интеграл.

Вы можете сформулировать свой парадокс, используя$|x\rangle$тоже заявляет:

$$i\hbar \langle x|x\rangle = \langle x| (\hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x})|x\rangle = x \langle x|\hat{p}|x\rangle - \langle x|\hat{p}|x\rangle x = 0$$

потому что$|x'\rangle$определяется только тогда, когда он немного размыт, вам нужно использовать отдельную переменную для двух вхождений x'. Итак, запишите полную матрицу для этого случая:

$$i\hbar \langle x|y\rangle = x\langle x|\hat{p}|y\rangle - \langle x|\hat{p}|y\rangle y = (x-y)\langle x|\hat{p}|y\rangle$$

И теперь x и y — отдельные переменные, которые можно размазывать независимо, как требуется. Элементы матрицы оператора p являются производной дельта-функции:

$$\langle x|\hat{p}|y\rangle = -i\hbar \delta'(x-y)$$

Итак, что вы получаете

$$(x-y)\delta'(x-y)$$

И вы принимаете$x=y$наивно установив первый фактор равным нулю, не заметив, что фактор дельта-функции ужасно сингулярен, и поэтому результат плохо определен без более тщательной оценки. Если умножить на гладкие тестовые функции для x и y, чтобы немного смазать ответ:

$$\int f(x) g(y) (x-y) \delta'(x-y) dx dy= \int f(x)g(x) dx = \int f(x) g(y) \delta(x-y)$$

Где первая идентификация происходит от интегрирования по частям по x и обнуления всех членов, которые исчезают при оценке дельта-функции. Результат в том, что

$$(x-y)\delta'(x-y) = \delta(x-y)$$

И результат не нулевой, он ведь согласуется с коммутационным соотношением. Это уравнение дельта-функции появляется с объяснением в первой математической главе «Принципов квантовой механики» Дирака.

К сожалению, формальные манипуляции с распределениями так легко приводят к парадоксам. Для родственного, но другого парадокса рассмотрим след$\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}$.

Поскольку кажется, что вы не совсем удовлетворены ответом Рона Меймона, я скажу немного по-другому.

Проблема в том, что в вашем выводе у вас есть скрытая двусмысленность.

$$\langle{\psi}_p\vert \hat{x}\vert\psi_p\rangle = \infty \;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\; \langle[\hat{x},\hat{p}]\rangle=...=(p-p)\langleψ_p|\hat{x}|ψ_p\rangle = 0\cdot\infty = \text{any number}$$ Проблема в функциях. Собственные функции оператора импульса и оператора координат на самом деле не являются функциями. Они не принадлежат пространству интегрируемых функций, и поэтому вы не можете свободно работать с ними, делая вид, что они принадлежат. Иногда вы можете, но если вы это сделаете, в какой-то момент вы окажетесь в беде.

Если вы возьмете какую-нибудь «правильную» функцию и посчитаете, проблем не будет. Возьмем, например

$$\psi(x)=\frac1{\sqrt{\pi}}e^{-x^2/2}$$ затем $$\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) x\left( -i\hbar \frac{∂}{∂x} \right) \psi(x)dx = i\hbar \frac1{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{x^2}dx = i\hbar \frac1{2\sqrt{\pi}}$$ $$\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) \left( -i\hbar \frac{∂}{∂x} \right)x \psi(x)dx = i\hbar \frac1{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left(x^2-1\right) e^{x^2}dx = i\hbar \frac1{2\sqrt{\pi}}-i\hbar$$ Разница в том, что вы ожидали.

Если вы возьмете$\psi_a(x)=\frac1{a}\psi(x/a)$и обратите внимание, что$\lim_{a\to0}\psi_a(x) = \delta(x) = \vert x\rangle$вы получите представление о том, как этот парадокс для$\vert x \rangle$может быть решена, и убедитесь, что решение является правильным способом обработки$0\cdot\infty$. Подобный трюк можно использовать для разрешения вашего парадокса. Просто функции, которые$\psi_p$в качестве предела менее удобны.

Я думаю, что парадокс заключается в том, что$\hat{p}$не является эрмитовым оператором в$x$представление в строгом смысле$\langle \alpha |\hat{p} | \beta\rangle \neq \langle \beta |\hat{p} |\alpha \rangle^*$в$x$представление. Затем внимательно следим за действием$\hat{p}$,$\langle x |\hat{p} |\alpha \rangle =-i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \langle x |\alpha \rangle$.

$$\langle x | \hat{x} \hat{p}-\hat{p}\hat{x} |x \rangle =\langle x | \hat{x} \hat{p} |x \rangle -\langle x | \hat{p}\hat{x} |x \rangle=x\langle x | \hat{p} |x \rangle +i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \langle x |\hat{x} |x\rangle$$ $$=x (-i\hbar) \frac{\partial}{\partial x}\delta(0)+i\hbar \frac{\partial}{\partial x} x\delta(0)=i\hbar$$