Вывод математического ожидания [X^,H^][X^,H^][\hat X,\hat H]

Для свободной частицы массы м , с гамильтонианом

ЧАС ^ "=" п ^ 2 2 м ,

где

п ^ "=" − я ℏ ∂ ∂ Икс .

Коммутативное отношение определяется выражением

(1) [ Икс ^ , ЧАС ^ ] "=" я ℏ м п ^

В общем собственном состоянии ЧАС ^ и п ^ , | е , п ⟩ , мы можем сделать следующее?

⟨ е , п | [ Икс ^ , ЧАС ^ ] | е , п ⟩ "=" ⟨ е , п | Икс ^ ( ЧАС ^ | е , п ⟩ ) − ( ⟨ е , п | ЧАС ^ ) Икс ^ | е , п ⟩ "=" ⟨ е , п | Икс ^ ( е | е , п ⟩ ) − ( ⟨ е , п | е ) Икс ^ | е , п ⟩ "=" е ( ⟨ е , п | Икс ^ | е , п ⟩ − ⟨ е , п | Икс ^ | е , п ⟩ ) "=" 0

Поскольку ЧАС ^ является эрмитовым, приведенный выше вывод, похоже, не имеет недостатков. Учитывая коммутативное соотношение (1), мы знаем, что результат неверен. Что не так с приведенным выше выводом?

[ РЕДАКТИРОВАТЬ ]

После комментария Любоша Мотла я разработал решение и хотел бы поделиться им здесь. Ссылка, предоставленная Qmechanic, имела решение, тесно связанное с этим вопросом.

⟨ е ′ , п ′ | [ Икс ^ , ЧАС ^ ] | е , п ⟩ "=" ⟨ е ′ , п ′ | Икс ^ ( ЧАС ^ | е , п ⟩ ) − ( ⟨ е ′ , п ′ | ЧАС ^ ) Икс ^ | е , п ⟩ "=" ( е − е ′ ) ⟨ е ′ , п ′ | Икс ^ | е , п ⟩

Обратите внимание, что:

е − е ′ "=" п 2 2 м − п ′ 2 2 м "=" ( п + п ′ ) ( п − п ′ ) 2 м

⟨ е ′ , п ′ | Икс ^ | е , п ⟩ "=" − я ℏ дельта ′ ( п − п ′ )

где дельта ′ ( ⋅ ) является производной функции Дирака по п .

Тогда мы получаем

( е − е ′ ) ⟨ е ′ , п ′ | Икс ^ | е , п ⟩ "=" − я ℏ ( п + п ′ ) 2 м ⋅ ( п − п ′ ) дельта ′ ( п − п ′ ) "=" − я ℏ ( п + п ′ ) 2 м ⋅ ( − дельта ( п − п ′ ) ) "=" я ℏ ( п + п ′ ) 2 м дельта ( п − п ′ )

Когда мы берем предел п → п ′ :

л я м п → п ′ я ℏ ( п + п ′ ) 2 м дельта ( п − п ′ ) → я ℏ м п дельта ( п − п ′ )

Это очень тонкий недостаток, но пытались ли вы поместить оператор между более общими состояниями? ⟨ е , п | и | е ′ , п ′ ⟩ ?
@LubošMotl на самом деле я попробовал обычный чехол для сэндвичей, но я отклонил его, не задумываясь. Поскольку вы упомянули об этом, я понял, что это действительно хороший момент для атаки: л я м е ′ → е ⟨е,р| Икс ^ ( ЧАС ^ |e′,p′⟩) - (⟨e,p| ЧАС ^ ) Икс ^ |е',р'⟩ = л я м е ′ → е (е' - е) ⟨e,p| Икс ^ |е',р'⟩. С л я м е ′ → е ( е ′ − е ) → 0 и л я м е ′ → е ⟨ е , п | Икс ^ | е ′ , п ′ ⟩ → ∞ , мы не можем игнорировать ни один из двух факторов. Постараюсь разобраться более подробно. Я проголосовал за тебя.
Привет, пользователь, да. На всякий случай попробуйте подумать о значении функции Икс дельта ′ ( Икс ) в Икс "=" 0 .

Ответы (2)

Как обычно в таких вопросах, я укажу на эту статью, в которой прекрасно обсуждаются проблемы формализма Дирака.

Теперь, в вашем конкретном примере, проблема заключается в состояниях энергии/импульса. | п 0 ⟩ сами по себе, которые не поддаются нормализации, поскольку связанная с ними волновая функция представляет собой преобразование Фурье дельта ( п − п 0 ) , Который означает, что ψ | п 0 ⟩ ( Икс ) "=" е − я Икс п 0 ℏ . Если вы теперь попытаетесь вычислить внутренний продукт, вы обнаружите:

⟨ п 0 | п 0 ⟩ "=" ∫ − ∞ ∞ ψ | п 0 ⟩ ( Икс ) ψ ¯ | п 0 ⟩ ( Икс ) г Икс "=" ∫ − ∞ ∞ е − я Икс п 0 ℏ е я Икс п 0 ℏ г Икс "=" ∫ − ∞ ∞ 1 г Икс

Таким образом, собственные состояния импульса ненормализуемы, и запись таких вещей, как ⟨ п 0 | Икс | п 0 ⟩ − ⟨ п 0 | Икс | п 0 ⟩ действительно бессмысленно, потому что вы вычитаете две бесконечности. В частности, это не 0 .

это, кажется, хорошая статья - я проголосовал за вас из-за этого. Я посмотрю в бумаге более подробно. Но я не удовлетворен вашим ответом, который я где-то уже слышал. Позвольте мне объяснить, почему. Я не думаю, что кто-то мог бы получить конкретный результат для вычитания двух упомянутых вами бесконечностей: < п 0 | Икс ^ | п 0 > − < п 0 | Икс ^ | п 0 > . Это буквально две одинаковые сущности, что с самого начала было загадкой. Я считаю, что Любош Мотл указал на реальное решение - ожидание не было определено должным образом, за исключением ограничивающего способа.
Я не думаю, что мы расходимся во мнениях — никто не может вычислить результат для разности, потому что это бессмысленно, так как его составляющие не существуют. Я, конечно, не буду обижаться на то, что вы довольны тем, как Любош подходит к этой проблеме, поскольку, по общему признанию, это немного ближе к делу :)
Я очень ценю ваш ответ. Пожалуйста, позвольте мне объяснить мою точку зрения немного дальше. Мотивация моего вопроса состояла в том, чтобы найти консенсус между двумя подходами к вычислению < п 0 | [ Икс ^ , ЧАС ^ ] | п 0 > . Второй способ применения эрмитовости ЧАС ^ должен дать тот же результат, а не просто констатировать его «непроходное» последствие. Например, если бы мы могли заявить об эрмитовости ЧАС ^ в данном случае недействителен, это будет считаться логическим консенсусом.
Приводя пример выше, я на самом деле не имею в виду ЧАС ^ здесь неэрмитов.
Боюсь, что "Второй способ применения эрмитовского свойства ЧАС ^ должен дать тот же результат» — это ожидание, от которого вы должны отказаться, но ваш первый способ (я предполагаю, что вы имеете в виду использование коммутационного соотношения) также не дает определенного результата: ⟨ п 0 | [ Икс ^ , ЧАС ^ ] | п 0 ⟩ "=" я ℏ м − 1 ⟨ п 0 | п ^ | п 0 ⟩ "=" я ℏ м − 1 п 0 ⟨ п 0 | п 0 ⟩ , где последнее выражение явно бесконечно. Итак, у вас есть два подхода, и оба они не дают конкретного результата. Вы ищете что-то большее?
Я согласен, что первый способ (используя коммутационное соотношение) приводит к бесконечности ~ п 0 ⟨ п 0 | п 0 ⟩ . Но физический смысл его понятен - пик ожидания приходится на п 0 . Второй путь не приводит ни к какому физическому результату - только из-за применения эрмитовости ЧАС ^ ? я бы не купила ;). Если это связано с нечетко определенной нормализацией, почему бы не дать то же самое? дельта - как результат? Нет никаких причин, почему это не могло бы быть, если мы правильно применяем «эрмитовость».
ЧАС ^ является эрмитовским (кстати, "правильное" слово для "эрмитовости" - Эрмитовость ), без сомнения. Он не всегда самосопряжен, но здесь проблема не в этом. Перечитав статью, на которую я ссылался, я думаю, что проблема может заключаться в том, что | п 0 ⟩ даже не входит в область определения оператора Икс ^ , но мне нужно некоторое время, чтобы попытаться решить это.
Я проголосовал за то, что вы указали мне имя "Отшельник".

Сложный вопрос, на самом деле. Помимо того, что ваш | е , п ⟩ вектор не принадлежит л 2 (следовательно, вы не можете взять его скалярное произведение), я не вижу другого недостатка. Это, на мой взгляд, означает, что у вас есть хороший аргумент для доказательства следующего математического утверждения:

Позволять ЧАС — сепарабельное гильбертово пространство, 0 ≠ г е С . Самосопряженных операторов нет. А и Б с непустым дискретным спектром, отличным от нуля, таким, что [ А , Б ] "=" г .

С этим фактом тесно связан следующий результат фон Неймана: с точностью до кратности и унитарной эквивалентности соотношения [ А , Б ] "=" я (в их возведенной в степень форме) однозначно реализуются А "=" Икс (оператор умножения) и Б "=" − я ∇ Икс , которые действительно не имеют дискретного спектра.

EDITED (в ответ на комментарий, а точнее, немного отредактировано вышеприведенное утверждение):

Число λ е р находится в дискретном спектре А ( называется о г я с с ( А ) ) если существует хотя бы один ψ λ е ЧАС (гильбертово пространство, обычно л 2 ( р г ) ) такой, что

А ψ λ "=" λ ψ λ .
Предположим, существуют А и Б самосопряженный такой, что 0 ≠ λ е о г я с с ( Б ) и [ А , Б ] "=" г (на подходящей плотной области). Теперь следует, что (на другом подходящем домене)
[ А , Б 2 ] "=" 2 г Б .
Позволять ψ λ е ЧАС быть одной из собственных функций Б связано с λ . С одной стороны,
2 г ⟨ ψ λ , Б ψ λ ⟩ ЧАС "=" 2 г λ ‖ ψ λ ‖ ЧАС 2 ;
с другой
⟨ ψ λ , А Б 2 ψ λ ⟩ ЧАС − ⟨ ψ λ , Б 2 А ψ λ ⟩ ЧАС "=" 0
как вы предложили. Это абсурд, поскольку г , λ и ‖ ψ λ ‖ ЧАС 2 отличны от нуля.

Отсюда следует, что у вас не может быть двух самосопряженных операторов, таких что [ А , Б ] "=" г и о г я с с ( Б ) ≠ { 0 } , ∅ . Рассуждения выше не работают, если нет собственной функции ψ λ е ЧАС (потому что с формальными собственными функциями нельзя брать скалярные произведения или нормы: они не конечны).

извините меня за недостаточную подготовку в строгом математическом анализе - у меня есть вопрос о том, что вы на самом деле имеете в виду. Почему тот факт, что вектор "∣e,p⟩ не принадлежит л 2 " имеют какое-либо отношение к утверждению: "нет самосопряженных операторов A и B с непустым дискретным спектром, таких что [A,B]=z"? В частности, что такого особенного в непустом дискретном спектре? Спасибо!
Я отредактировал ответ, мой ответ был бы слишком длинным для комментария.
Я понимаю, что вы говорите, но я хотел бы отметить несколько моментов: 1) ваш спектр (в первом уравнении) должен быть для оператора B, а не для A; 2) из ​​вашего отредактированного ответа не имеет значения, является ли спектр дискретным или непрерывным; 3) для конкретного примера в вопросе вы указываете ЧАС ^ является неэрмитовым (в моем понимании самосопряженный означает то же самое)?
Итак: 1) в первом уравнении я определяю значение дискретного спектра, поэтому А или Б не имеет значения, но я согласен, что приведенные ниже обозначения могут немного сбивать с толку; 2) Это важно, потому что я определяю дискретный спектр таким образом, чтобы в гильбертовом пространстве была хотя бы одна собственная функция (это не так для всех значений в спектре вообще!); 3) самосопряженный означает симметричный (эрмитов) и еще кое-что (его домен равен домену сопряженного) надо быть осторожным! Твой ЧАС , также известный как оператор Лапласа, является самосопряженным на л 2 ( р г ) .
Вывод математического ожидания [X^,H^][X^,H^][\hat X,\hat H]
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v