EOM Гейзенберга для ⟨x⟩⟨x⟩\langle x \rangle в собственном состоянии импульса - где моя ошибка?

Уравнение движения для среднего значения квантовой частицы в собственном импульсном состоянии:

г г т ⟨ Икс ⟩ "=" 1 я час ⟨ [ Икс , ЧАС ] ⟩

и поскольку он находится в собственном состоянии импульса,

1 я час ⟨ [ Икс , ЧАС ] ⟩ "=" 1 я час ⟨ п | [ Икс , ЧАС ] | п ⟩

Расширяя это,

1 я час ⟨ п | ( Икс п 2 2 м + Икс В ( Икс ) ) − ( п 2 2 м Икс + В ( Икс ) Икс ) | п ⟩ "=" 1 я час ( п 2 2 м − п 2 2 м ) ⟨ п | Икс | п ⟩ + 1 я час ⟨ п | [ Икс , В ( Икс ) ] | п ⟩ "=" 0

с В является В ( Икс ) . Но г г т ⟨ Икс ⟩ "=" п м . Где моя ошибка?

Обратите внимание, что п ^ это оператор, вы не можете использовать его как переменную
Подсказка: что такое ⟨ п | Икс | п ⟩ ?
Возможные дубликаты: physics.stackexchange.com/q/14116/2451 и ссылки там.

Ответы (2)

Ну, вы знаете, что собственная функция п ^ является опыт ⁡ ( я п Икс ) , так что давайте попробуем найти, каково математическое ожидание Икс то есть для начала:

⟨ п | Икс | п ⟩ "=" ∫ опыт ⁡ ( − я п Икс ) Икс опыт ⁡ ( я п Икс ) г Икс "=" ∫ Икс г Икс
и этого интеграла не существует . Тогда не должно вызывать удивления, что попытка найти производную по времени дает бессмыслицу. Основная причина в том, что опыт ⁡ ( я п Икс ) не нормализуется. Этот ответ на аналогичный вопрос дает более подробную информацию о том, как решить эту проблему.

Спасибо! это попало в самую точку. <x'|p|x''>=ih delta(x'-x'')/(x'-x''), что устраняет мою путаницу (и согласуется с формой оператора импульса в позиционном базисе поскольку delta(x)/x= - d delta(x)/dx

Обновление : комментарии Робина указали на мое замешательство.

Рассмотрим следующее:

[ Икс , п 2 ] "=" Икс п п − п п Икс "=" Икс п п − п Икс п + п Икс п − п п Икс "=" [ Икс , п ] п + п [ Икс , п ] "=" 2 я час п

Если вы подставите это в исходное выражение, вы получите именно то, что ожидаете от этого наблюдаемого: п / м .

Но формально правильные манипуляции, которые вы произвели, дают другой ответ, показывая, что что-то не так. Для заключения см. ответ Робина.

Оригинальный ошибочный ответ:

Вы не можете взять член импульса вне среднего значения — импульс p — это оператор, который не коммутирует с x.

-1: Поскольку состояние является собственным состоянием п ^ , вы можете заменить п ^ с собственным значением п (действуя влево на лифчик и вправо на кет).
Нет, я думаю, ты не можешь. Следуя вашей логике, верно следующее: ⟨ Икс п ⟩ "=" ⟨ Икс ⟩ п и поэтому ⟨ [ Икс , п ] ⟩ "=" 0 .
Вы должны убедиться, что все задействованные величины действительно существуют, см. здесь physics.stackexchange.com/q/14116/2451 .
Я думаю, вы правы
Но я могу получить правильный ответ, если использую коммутационное соотношение x и p, это сбивает с толку.
@RobinEkman Я обновил свой ответ, чтобы избежать путаницы. У меня к вам вопрос: есть ли вообще смысл рассматривать эволюцию ⟨ Икс ⟩ ? Если я избегаю вычисления этого выражения в правой части, я получаю физически хороший ответ. Но у нас есть как минимум 2 способа получить бред (ваш и тот, что в вопросе выше)
EOM Гейзенберга для ⟨x⟩⟨x⟩\langle x \rangle в собственном состоянии импульса - где моя ошибка?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v