Что не так с моим расчетом гравитационного потенциала однородной сферы?

Это действительно смущает, но я не совсем уверен, где я ошибаюсь... Почему этот расчет гравитационного потенциала внутри сферы с однородным распределением массы неверен?

Настраивать

Допустим, сфера имеет массу$M$и радиус$R$(и равномерная массовая плотность$\mu$), и мы хотим найти потенциал на любом расстоянии$r$от центра сферы, где$r<R$. Нормируем потенциал к нулю на бесконечности.

Расчет

потенциал$\phi(r)$равно потенциалу снаружи сферы плюс разность потенциалов между некоторой точкой внутри сферы и точкой снаружи.

$$\phi(r)=\phi_0-\int_R^r \frac{\mu G}{r}dV$$

(Извините за использование$r$для верхнего предела интеграла, а также для переменной в подынтегральном выражении. Надеюсь, это не вызовет путаницы.)

Теперь, чтобы выяснить различные аспекты приведенного выше уравнения уравнения. Потенциальное право вне сферы:

$$\phi_0=-\frac{MG}{R}$$

Элемент дифференциального объема может быть выражен как площадь поверхности сферической оболочки с постоянным потенциалом, умноженная на дифференциальную ширину оболочки:

$$dV=4\pi r^2 dr$$ И последняя деталь, массовая плотность сферы: $$\mu=\frac{3M}{4\pi R^3}$$

Используя эту информацию,

$$\phi(r)=-\frac{MG}{R}-\frac{3MG}{R^3}\int_R^r r dr$$

$$\phi(r)=-\frac{MG}{R^3}\left[R^2+\frac{3r^2}{2}-\frac{3R^2}{2}\right]$$

$$\phi(r)=-\frac{MG}{2R^3}(3r^2-R^2)$$

Заключение

Этот результат не согласуется с несколькими местами, которые я посетил, например, с этим , где утверждается, что правильный результат (с точки зрения переменных, которые я использовал):

$$\phi(r)=-\frac{MG}{2R^3}(3R^2-r^2)$$

Оба результата дают одинаковый потенциал при$r=R$, очевидно, но мой результат начинает выглядеть нелепо для таких значений, как$r=R/2$.

Единственная часть моих расчетов, которая кажется мне схематичной, — это первое уравнение, где я говорю о разности потенциалов в точках внутри и вне сферы; Я не знаю, правильно ли делить на$r$в подынтегральном выражении... Или, может быть, я просто где-то допустил глупую алгебраическую ошибку.

Где я неправ?