Что не так со следующим способом расчета среднего времени жизни по периоду полураспада?

Если вы хотите рассчитать средний срок службы путем суммирования ряда, правильный способ сделать это — суммировать

$$\tau = \sum(\text{time at which particle decays})\times(\text{probability that particle decays at that time})$$ Итак, первая проблема заключается в том, что вы вычисляете что-то другое. Ваша серия вычислений $$\sum(\text{time at which particle hasn't decayed})\times(\text{probability that particle hasn't decayed at that time})$$ что не является значимой величиной. По крайней мере, это двойной подсчет некоторой доли частиц. В частности, некоторые из частиц, которые выживают в течение одной секунды, также будут выживать в течение двух, трех секунд или дольше, и они включаются в вашу сумму несколькими членами.

Устранив эту одну проблему, вы получите следующую серию:

$$1\times \underbrace{\biggl(1 - \frac{1}{2}\biggr)}_{P(\text{decay},1)} + 2\times \underbrace{\frac{1}{2}}_{P(\text{survival},1)}\times\underbrace{\biggl(1 - \frac{1}{2}\biggr)}_{P(\text{decay},2)} + \cdots$$ где $P(\text{decay},1)$представляет вероятность того, что частица распадется после $1\ \mathrm{s}$, и так далее.

В этот момент вы можете понять, что другая вещь, которую вы делаете, это ограничение распада частиц только за целое число секунд. Если подумать, в ваших расчетах не делается различия между частицей, которая распадается после$1.1\ \mathrm{s}$и частица, которая распадается после$1.9\ \mathrm{s}$, но это должно иметь значение, потому что оно меняется$1.1\ \mathrm{s}$-пожизненные частицы для$1.9\ \mathrm{s}$частицы со временем жизни увеличат среднее время жизни.

На самом деле вы можете экстраполировать свою логику, чтобы найти правильное решение, просто сократив временной интервал. Например, из вашего первого уравнения$N(t) = N(0)\ 2^{-t/T_{1/2}}$, вы знаете, что частица имеет вероятность$\frac{1}{2}$выжить в первую секунду. А как же первая половина секунды?

$$\begin{align} P(\text{survival},1/2) &= \frac{N(1/2)}{N(0)} = 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ P(\text{decay},1/2) &= 1 - P(\text{survival},1/2) = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{align}$$ А вторая половина секунды? $$\begin{align} P(\text{survival},1) &= \frac{1}{2} \\ P(\text{decay},1) &= 1 - P(\text{survival},1) = \frac{1}{2} \end{align}$$ И так далее. Таким образом, если вы позволите частицам распадаться с шагом в полсекунды, а не с шагом в одну секунду, вы получите $$\frac{1}{2}\times\biggl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\biggr) + 1\times\frac{1}{\sqrt{2}}\times\biggl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\biggr) + \frac{3}{2}\times\biggl[1 - \biggl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\biggr) - \frac{1}{\sqrt{2}}\biggl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\biggr)\biggr]\times\frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots$$ что упрощает до $$\frac{1}{2}\times\biggl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\biggr) + 1\times\frac{1}{\sqrt{2}}\times\biggl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\biggr) + \frac{3}{2}\times\biggl(\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr)^2\biggl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\biggr) + \cdots = \sum_n \frac{n}{2}\biggl(\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr)^{n - 1}\biggl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\biggr) \approx 1.707$$ Делая то же самое с интервалом в четверть секунды, вы $$\sum_n \frac{n}{4}\biggl(\frac{1}{2^{1/4}}\biggr)^{n - 1}\biggl(1 - \frac{1}{2^{1/4}}\biggr) \approx 1.571$$ Может быть, вы видите здесь закономерность: если $\Delta$интервал времени в секундах, это $$\sum_n n\Delta\frac{1}{2^{\Delta(n - 1)}}\biggl(1 - \frac{1}{2^{\Delta}}\biggr)$$ Принимая предел как $\Delta\to 0$дает тебе $\frac{1}{\ln 2}$.