Что означает «ln» в уравнении Delta V?

ln — математическая функция, «натуральный журнал».

У большинства научных калькуляторов есть ключ для этого.

См. https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm

Это натуральный логарифм . Эта страница в Википедии была первым результатом, когда я погуглил «ln». Если вы столкнетесь с подобными ситуациями в будущем и будете обеспокоены тем, что двух букв недостаточно для получения результатов, вы можете добавить в поиск слово «математика», чтобы предоставить поисковой системе больше контекста. И, как упомянул Марк Морган Ллойд в комментарии, иногда функция поиска в Википедии может давать лучшие результаты, чем в Google. Существует также веб-сайт wolframalpha.com, на котором можно получить информацию о математике. Кроме того, поиск по « уравнению ракеты » дает страницу в Википедии, на которой объясняются все термины, включая ln.

Как объясняли другие, ln — натуральный логарифм.

Что примечательно в отношении логарифмов вообще, так это то, что они очень медленно растут, когда растет их аргумент. На самом деле каждое умножение аргумента — скажем, удвоение — только добавляет постоянное значение к логарифму. Давайте посмотрим на пример:

При соотношении масс загруженного:пустого, равном 10, ln(ML/ME) составляет ~2,3: вы можете ожидать ускорения примерно в 2,3 раза по сравнению со скоростью выхлопа. Теперь предположим, что вы увеличили расход топлива более чем в два раза :$ln (20) \approx 3.0$. Вы снова удваиваете: ~ 3,7. Опять же: ~ 4,4. Каждое удвоение добавляет только постоянное увеличение скорости на 0,7 скорости выхлопа. Причина в том, что в начале полета вам нужно топливо для ускорения, которое вам понадобится позже. И ранее, вам нужно топливо для ускорения топлива, которое вам нужно для ускорения топлива. И так далее. Такое «наслоение» характерно для экспоненциальных процессов. («Необходимое топливо растет экспоненциально с желаемой скоростью» - это обратная сторона «результирующей скорости логарифмически растет с увеличением топлива»: логарифм и экспоненциальная функция обратны друг другу).

Теперь у вас в 8 раз больше исходного топлива , и вы даже не в два раза быстрее. Это полностью игнорирует структурные изменения ракеты, необходимые для перевозки восьмикратного исходного топлива: пустая ракета теперь также во много раз тяжелее исходной модели, а это означает, что на самом деле вам потребуется значительно больше топлива, чем восьмикратное исходное количество, чтобы для достижения необходимого соотношения ML/ME, равного 80, для скорости, которая даже не удваивает исходную.

«И вот, дорогие друзья, почему поститься трудно». ;-)

Если вы не знакомы с обозначениями$\ln$, то вы также можете быть незнакомы с понятием логарифма. Есть много мест, где можно узнать об этом, но давайте поговорим об этом в контексте ракетного уравнения.

Что важно понимать об этой функции для уравнения ракеты, так это то, что она очень медленно растет с отношением начальной массы к конечной:$\Delta v = v_e \ln (\frac{m_0}{m_f})$. Допустим, исходная дельта-v нашего космического корабля$\Delta v_\mathrm{old}$. Наш космический корабль весит 120 тонн без топлива и 2400 тонн с топливом, что дает соотношение масс$\frac{m_0}{m_f}=20$. Наша скорость истечения равна 3 км/с, поэтому$\Delta v_\mathrm{old} \approx 9~\mathrm{km/s}$. (Я выбрал числа примерно такие же, как у первой ступени Saturn V).

Мы очень много работаем, чтобы сделать космический корабль легче, не уменьшая количество топлива, которое он может нести. Мы заменяем тяжелые стальные конструкционные опоры на титановые или бериллиевые. Снимаем изоляцию с корпуса. И всей этой работой мы уменьшаем вес корабля без топлива со 120 тонн до 40 тонн. Это большое достижение! Инженеры очень гордятся собой.

Наш коэффициент массы увеличился втрое! Мы могли бы ожидать, что наша delta-v тоже утроится! Но мы подставляем это в уравнение ракеты и обнаруживаем, что дельта-v не утраивается. Тоже не удваивается. Когда отношение масс увеличивается втрое (на самом деле умножается на$2.718...$),$\ln$просто становится больше. Так что, если вы можете улучшить соотношение масс в 3 раза, delta-v просто получит еще один$v_e$добавлено к нему.

$\Delta v_\mathrm{new} = v_e \ln (\frac{3m_0}{m_f}) \approx v_e + v_e\ln (\frac{m_0}{m_f}) = v_e + \Delta v_\mathrm{old}$

Итак, мы не переходим от 9 км/с к 27 км/с или даже к 18 км/с.$\Delta v_\mathrm{new}$составляет всего около 12 км/с.

Нашим инженерам грустно, но они уверены, что могут сделать лучше. Мы заменяем весь металл углеродными нанотрубками и борофеном. Мы не разрешаем астронавтам брать свои игровые приставки. Мы уменьшаем сухую массу до 20 тонн, что в 7 раз меньше прежних 140 тонн. Конечно, теперь, с этими улучшениями материалов на уровне научной фантастики, мы сможем получить большую дельта-v.

Мы увеличиваем отношение масс в 7 раз по сравнению с нашим исходным кораблем, но дельта-v не увеличивается в 7 раз. Оно даже не удваивается!

$\Delta v_\mathrm{new} = v_e \ln (\frac{7m_0}{m_f}) \approx 2v_e + v_e\ln (\frac{m_0}{m_f}) = 2v_e + \Delta v_\mathrm{old}$

Мы достигли области научной фантастики, но все равно получаем только 15 км/с, а не 9 км/с. Другой способ понять это состоит в том, что вы должны нести топливо, чтобы нести топливо. Вот почему выбраться с этой планеты так сложно.