Это правильное понимание ракетного уравнения Циолковского?

Следствием уравнения ракеты является то, что линейное увеличение ∆v требует экспоненциального увеличения отношения масс для одной ступени.

Строго не существует максимальной дельта-v — если вы перестроите свой график в логарифмическом масштабе, вы увидите, что он не идет вертикально.

Получить очень высокое отношение масс (намного выше 10:1) сложно на одной ступени, поэтому существует практический предел ∆v.

Многоступенчатые ракеты могут достигать произвольно высокого отношения общей массы (если у вас есть бюджет), поэтому линейное увеличение ∆v просто требует экспоненциального увеличения общей массы.

Производная этого графика представляет собой скорость изменения массы по отношению к скорости изменения скорости. Для ракеты в определенной точке полета это говорит о том, сколько массы топлива необходимо израсходовать, чтобы увеличить ее скорость на заданную величину; для ракеты на чертежной доске он говорит, сколько топлива нужно нести, чтобы увеличить ее мощность, определяемую ∆v.

Я не знаю, есть ли какие-либо полезные интерпретации интеграла.

Ваш вопрос касается поведения самого уравнения ракеты Циолковского в пределе очень малой конечной массы ( сухой массы ). Грубо говоря: " есть ли какой-нибудь предел delta-v в теории? "

Использование MathJax :

$$\Delta v=v_e \ln\frac{m_0}{m_f}.$$ Если вы просто посмотрите на отношение скоростей и отношение масс: $$\frac{\Delta v}{v_e}=\ln\frac{m_0}{m_f}=-\ln\frac{m_f}{m_0},$$ вы можете видеть, что один является просто журналом другого. Лог продолжает расти вечно, но все медленнее и медленнее. Он никогда не достигает асимптоты. Он быстро растет на линейном графике, но если вы измените ось X с линейной на логарифмическую, отношение скоростей просто продолжит увеличиваться.

нажмите, чтобы увеличить:

Если конечная масса составляет одну миллиардную от начальной массы, вы можете получить дельта-v, которая более чем в 20 раз превышает скорость истечения. Теоретически.

Поэтому я думаю, что ответ на ваш вопрос, только с математической точки зрения, основанной на ракетном уравнении, — нет. Здесь нет предела. Если ваша ракета сделана из чистого топлива, с волшебным безмассовым соплом, она может лететь очень-очень быстро!

Но наверняка, как показывают другие ответы, физическая ракета, которую мы можем построить и запустить, имеет очень реальный (и пока очень дорогой) физический предел.

Вот некоторый код Python для сюжета:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

mf_over_m0 = np.logspace(-0.5, -10, 20)

delta_v_over_ve = -np.log(mf_over_m0)

# that's it - the rest is just plotting @@!

fig = plt.figure(figsize=[16, 8])

xlab,   ylab   = "mf / m0",             "delta v / v exhaust"
title1, title2 = "x-axis linear scale", "x-axis log scale"

ax1 = plt.subplot(121, xlabel=xlab, ylabel=ylab, title=title1)
ax2 = plt.subplot(122, xlabel=xlab, ylabel=ylab, title=title2)

# from here: http://stackoverflow.com/a/14971193/3904031
for ax in [ax1, ax2]:
    for item in ([ax.title, ax.xaxis.label, ax.yaxis.label] +
                 ax.get_xticklabels() + ax.get_yticklabels()):
        item.set_fontsize(20)
    ax.invert_xaxis()

for ax in [ax1, ax2]:
    ax.plot(mf_over_m0, delta_v_over_ve, 'ok')
    ax.plot(mf_over_m0, delta_v_over_ve, '-b')
ax2.set_xscale('log')

plt.savefig("rocket equation question")
plt.show()

Нет, это не совсем так. Давайте сначала сформулируем и опишем уравнение ракеты Циолковского:

$\displaystyle \Delta v = V_e \times \ln(\frac{m_i}{m_f})$

$\Delta v$дельта v, изменение скорости в км/с

$V_e$- эффективная скорость истечения в км / с (это еще один способ измерения удельного импульса)

$\ln()$— это просто натуральный логарифм , или логарифм по основанию e (e — интересная математическая константа, приблизительно равная 2,7). Почти все научные и графические расчеты имеют функцию ln().

$m_i$а также$m_f$начальная и конечная массы в кг

Отношение масс — это просто отношение. Итак, если мы начнем со 100 кг и закончим 10, или начнем с 1000 кг и закончим 100, изменение скорости останется прежним. Это, конечно, предполагало, что Ве тоже не изменился.

Таким образом, уравнение представляет собой натуральный логарифм отношения r, умноженного на константу. Чтобы проанализировать любое поведение асимптоты, все, что вам действительно нужно, — это понять поведение естественной логарифмической функции.

Перейдите на fooplot.com и введите «ln(x)» без кавычек. Вы увидите черную кривую. На этом графике наше отношение r теперь называется x , а y представляет собой дельту v.

Да, слева есть вертикальная асимптота , совпадающая с самой осью Y. Это подразумевало бы некоторые действительно странные вещи о неограниченном отрицательном пределе дельты v (так что вы могли бы двигаться бесконечно быстро с отрицательной скоростью!) ... за исключением того, что наше отношение не может быть меньше 1 ... потому что начальная масса всегда больше, чем конечная масса. Именно так работают химические ракеты. Они сжигают массу и таким образом теряют массу. Вы всегда начинаете с большим количеством топлива, чем заканчиваете. С математической точки зрения это означает, что действительный домен начинается с x > 1. x <= 1 просто физически невозможно.

Теперь вы должны заметить, что кривая становится более мелкой по мере движения вправо. Вам может быть интересно, имеет ли кривая горизонтальную асимптоту? Если это так, это действительно установит максимум на дельта v, как вы подозреваете. Но ответ таков: нет, на графике нет горизонтальной асимптоты . Кривая всегда становится все выше и выше по мере движения вправо... просто под все более и более пологими углами.

Другой способ сказать, что логарифмы ведут себя с экспоненциальным затуханием. Однако в наши дни «экспоненциальный» используется очень свободно. Я не рекомендую эту терминологию! Чтобы еще больше вас запутать, горизонтальную асимптоту также называют экспоненциальным распадом! (другого рода).

Кстати, вы можете умножать «ln(x)» на любое значение Ve, и это не изменит поведение графика. Справедливое предупреждение, однако, если вы введете типичное число, которое используют реальные ракеты, например, 3000 (м/с), вам придется сильно увеличить масштаб, чтобы увидеть кривую. Вот почему мне нравится работать в км/с, чтобы умножить только на 3.

Итог уравнения: максимальной дельты v не существует. Если вы хотите экспоненциально увеличить отношение масс, вы можете линейно увеличить дельта v до любого высокого значения, которое вы хотите. Однако это не означает, что это физически возможно. Конечно, существуют технологические ограничения на то, сколько тяги, тепла и других вещей мы можем контролируемо достичь в нашей ракете.

Вы тоже спрашивали о производной и интеграле. Вы также упомянули обратное уравнение ракеты Циолковского во втором абзаце. Я постараюсь объяснить, что они означают, в будущем редактировании.