Что означает «нести представление» (в SUSY-алгебре)?

Детали по существу разъяснили, но позвольте мне сделать попытку сформулировать это на языке, более привычном для математика. Я буду игнорировать тонкости, которые необходимы для более общих супералгебр Ли.

Позволять$\mathfrak g$быть супералгеброй Ли с$\mathbb Z_2$оценивание$\mathfrak g = \mathfrak g_e\oplus\mathfrak g_o$, где два фактора представляют собой четную («бозонную») и нечетную («фермионную») части соответственно. Четная часть$\mathfrak g_e$образуют замкнутую алгебру Ли и действует на нечетной части$\mathfrak g_o$по присоединенному действию

$$\begin{equation} ad_g:\mathfrak g_o\rightarrow\mathfrak g_o, \qquad q\rightarrow ad_g(q)=[g,q], \end{equation}$$ где $g\in\mathfrak g_e$и $[.,.]$является коммутатором супералгебры Ли. Сейчас, $\mathfrak g_o$является векторным пространством и, таким образом, образует пространство представления четной части $\mathfrak g_e$(при присоединенном действии). Теперь вы можете разложить $\mathfrak g_o$в неприводимые представления $\mathfrak g_e$. Таким образом, вы можете построить основу $\mathfrak g_o$который преобразуется по представлению $\mathfrak g_e$при присоединенном действии, или, другими словами, их коммутаторы просто соответствуют некоторому представлению $\mathfrak g_e$.

В том случае, о котором вы говорите,$\mathfrak g_e$это просто алгебра Пуанкаре и$\mathfrak g_o$преобразуется при некотором его спинорном представлении (при присоединенном действии/коммутаторе).

---

Редактировать: я думаю, что ранее неправильно понял вопросы, касающиеся роли идентичностей супер-якоби. Позвольте мне, следуя предложению joshphysics, уточнить это, используя несколько более математический (независимый от базиса) язык. Для более зависимого от основы подхода я рекомендую ответ joshphysics ниже.

Как я объяснил выше, сопряженное действие$\text{ad}:\mathfrak g_e\rightarrow\mathfrak{gl}(\mathfrak g_o)$, или другими словами$\text{ad}_x:\mathfrak g_o\rightarrow\mathfrak g_o$(где$x\in\mathfrak g_e$), на самом деле является$\text{dim}(\mathfrak g_o)$размерное представление алгебры Ли$\mathfrak g_e$в векторном пространстве$\mathfrak g_o$. Это означает, что это гомоморфизм алгебры Ли

$$\left[ \text{ad}_x,\text{ad}_y \right](z) = \text{ad}_{[x,y]}(z),\qquad x,y\in\mathfrak g_e, z\in \mathfrak g_o,$$

где я использую обозначение

$$\left[ \text{ad}_x,\text{ad}_y \right] = \text{ad}_x\circ \text{ad}_y - \text{ad}_y\circ \text{ad}_x.$$

Можно очень легко показать, что присоединенное действие удовлетворяет приведенному выше тождеству и, таким образом, является представлением, используя тождества Якоби. Таким образом, тождества Якоби гарантируют, что присоединенное действие является гомоморфизмом алгебр Ли. Если вы выбрали основу, вы можете легко увидеть, что это эквивалентно тому, что утверждает joshphysics в своем ответе. В частности, коэффициенты$s_{\alpha,i}^\beta$(в обозначениях джош-физики) соответствуют представлению четной части$\mathfrak g_e$. Хотя я не думаю, что это должно быть присоединенное представление в целом (например, это не относится к супералгебре Пуанкаре).

Я думаю, что это, вероятно, эквивалентно ответу Хейдара, но я все равно включу его для тех, кто менее математик. Рассмотрим супералгебру Ли с базисом$\{B_i, F_\alpha\}$удовлетворяющие следующим структурным соотношениям:

$$\begin{align} [B_i, B_j] &= ic_{ij}^{\phantom{ij}k}B_k, \qquad [F_\alpha, B_i] = s_{\alpha i}^{\phantom{\alpha i}\beta} F_\beta, \qquad \{F_\alpha, F_\beta\} = \gamma_{\alpha\beta}^{\phantom{\alpha\beta}i}B_i. \end{align}$$ The $B_i$называются бозонными генераторами, а $F_i$называются фермионными генераторами. Теперь спросим себя: могут ли структурные константы быть выбраны произвольно? Ну нет; часть определения супералгебры Ли состоит в том, что скобки $[\cdot, \cdot]$и $\{\cdot, \cdot\}$антисимметричны и симметричны соответственно. Более того, тождества супер-Якоби должны выполняться как часть определения. Антисимметрия скобки $[\cdot, \cdot]$, например, говорит, что $c_{ij}^{\phantom{ij}k}=-c_{ji}^{\phantom{ij}k}$. Затем можно показать, что соблюдение тождеств супер-Якоби требует, чтобы матрицы $S_i$определяется как $$\begin{align} (S_i)_\alpha^{\phantom\alpha\beta} = s_{\alpha i}^{\phantom{\alpha i}\beta} \end{align}$$ образуют присоединенное представление бозонной подалгебры Ли, заданной первым структурным соотношением выше.

Теперь вы можете спросить: ладно, все это хорошо, но зачем нам алгебры, которые определены таким образом (например, требующие тождеств супер-Якоби)? Что ж, ответ на это дает знаменитая теорема Хаага, Лопужанского и Сониуса .

Вообще говоря, что некоторые объекты$A_{i}$нести (линейное) представление$R$группы$G$просто означает, что вы рассматриваете действие$G$на съемках$A$s, соответствующее представлению$R$из$G$на$\displaystyle \mathrm{span}(\{A_i\})$.

Физики часто используют индексы для быстрой идентификации линейных представлений (например, 1 «векторный индекс» = фундаментальное представление), в частности, для группы Лоренца.

Случай фермионных индексов несколько сложнее, так как они на самом деле не являются представлениями группы Лоренца, и, как сказал твистор59, вам нужно учитывать двойное покрытие. Я думаю, что это не основная суть вашего вопроса, и некоторые подробности вы можете найти в Википедии .

Конечно, для математика это выглядит тривиально, поскольку любой набор из n объектов можно считать носителем n-мерного представления любой группы. Дело в том, что вы выбираете, какие группы. В теории поля релятивистская инвариантность реализуется за счет того, что каждое поле несет некоторое представление группы Лоренца и строит с ними скалярные объекты (лагранжианы, амплитуды и т. д.).

Нести определенное представление$R$тогда означает, что группа Лоренца действует, как определено$R$на ваших объектах (полевые и другие операторы). Как вы предложили в комментарии, он сообщает вам, что такое коммутатор с операторами, представляющими генераторы группы Лоренца.

Комментарии к вопросу (v3):

Фермионные SUSY-генераторы принадлежат супервекторному пространству$V$. Это векторное пространство$V$ несет представление алгебры Ли$L$, например алгебра Ли Лоренца, просто означает, что это представление алгебры Ли алгебры Ли$L$.

Существует аналогичная терминология с алгеброй Ли.$L$заменена группой Ли$G$.

Предупреждение: обратите внимание, что в литературе часто встречаются авторы, говорящие о группе Ли.$G$когда они действительно имеют в виду соответствующую алгебру Ли$L$, и наоборот.

В частности, заметим, что представление группы Ли$V$группы Ли$G$также является представлением алгебры Ли$V$соответствующей алгебры Ли$L$, тогда как обратное не обязательно.