Симметрия E7(7)E7(7)E_{7(7)} в (N=8,d=4)(N=8,d=4)(\mathcal{N}=8, d=4) Супергравитация

1. Скалярные поля обычно включают структуру смежного многообразия.$G/H$, координаты которых в основном описывают скалярные поля в соответствии с некоторой структурой сигма-модели. На многообразие, описывающее скалярные поля, действует$G$в обычном смысле$G$группа изометрий многообразия. Векторные поля, участвующие в$\mathcal{N}=8$с$d=4$следовать своего рода соотношению двойственности (необходимому для связи векторов со скалярами и спинорами в сигма-модельном способе), и$28$векторные поля с их двойниками назначаются$56$псевдореальное представление$E_{7(7)}$. Так$E_7$которые действуют на скалярные поля, также действуют на векторные поля через преобразование двойственности - свойство, общее для всех расширенных моделей супергравитации.

2- Как было сказано ранее, смежный класс$E_{7(7)}/SU(8)$описывает комплексное многообразие, координатами которого являются скалярные поля. Обычно эти многообразия имеют кэлерову структуру, однако в данном случае многообразие является примером некэлерова многообразия, возникающего в результате СРТ-самосопряжения многообразия$\mathcal{N}=8$гравитонный мультиплет. Скалярные поля имеют значение на этом многообразии, а не в вакууме модели.

Однако для описания вакуумной структуры обычно калибруют подгруппу группы полной изометрии, которая также должна быть подгруппой группы, сохраняющей симметрию бозонной части лагранжиана. Структура вакуума с популярным выбором группы датчиков$SO(8)$несет полную симметрию$Osp(4/8)$и поэтому фоновое пространство-время имеет AdS-структуру.$\mathcal{N}=8$может быть усечен до меньшего числа суперсимметрии (для построения модели) на основе изучения критических точек скалярного потенциала, который, в свою очередь, можно определить, зная структуру класса смежности.

Примечание. Соотношения двойственности — это просто симметрии уравнений поля, но не лагранжиана. Здесь они обеспечивают расширение симметрий нелинейной сигма-модели, используемой для описания скалярных полей, до векторных полей.

Эти отношения двойственности в основном представляют собой обобщенную форму двойственной симметрии классических уравнений Максвелла, где замена E и B является симметрией классических уравнений Максвелла в вакууме, но не является симметрией лагранжиана Максвелла.

В расширенной модели супергравитации$\mathcal{N}\geqslant3$, произвольность метрики сигма-модели исчезает из-за изменения группы автоморфизмов суперсимметрии за$\mathcal{N}=3$и для этих моделей, если мы используем инвариантность двойственности, то метрическая структура вместе с G определяется полностью (вместе с некоторыми другими ограничениями, которые определяют H). Следовательно, структура смежных классов полностью определена для расширенных моделей SUGRA, которые можно использовать для полной фиксации взаимодействий и, следовательно, лагранжиана. Эта задача была впервые использована для$\mathcal{N}=3$в следующей ссылке-

Кастеллани, Аурия, Фре, Феррара: полная$\mathcal{N}=3$материя связана с супергравитацией, Nucl. физ. Б286 (1986).