Что означает «содержит полные классы сопряжения» (пожалуйста, на простом английском)?

Я пытаюсь понять решение части вопроса ( в я . ) ниже:

групповой стол

Подгруппа инвариантна, если г ЧАС г − 1 "=" ЧАС для любого г е г . Это эквивалентно утверждению, что подгруппа ЧАС инвариантен, если он имеет одинаковые правый и левый смежные классы, или то же самое, что сказать, что он должен содержать полные классы сопряжения . Это верно для { Е } , { Е , Д , Ф } и г которые содержат полные классы, но не для { Е , А } , { Е , Б } и { Е , С } . Также с тех пор { Е , Д , Ф } имеет индекс два ( ∣ г ∣ / ∣ ЧАС ∣= 2 ) , из вопроса 2 и моего предыдущего вопроса мы знаем, что эта подгруппа инвариантна. В качестве проверки посмотрим, { Е , А } имеет одинаковые левые и правые смежные классы:

Левые смежные классы { Е , А } являются А { Е , А } "=" { А , Е } , Б { Е , А } "=" { Б , Ф } , С { Е , А } "=" { С , Д }

Правые смежные классы { Е , А } являются { Е , А } А "=" { А , Е } , { Е , А } Б "=" { Б , Д } , { Е , А } С "=" { С , Ф }

Мы видим, что левые смежные классы не совпадают с правыми смежными классами. Следовательно { Е , А } не является инвариантной подгруппой. То же самое верно для { Е , Б } и { Е , С } . Поэтому только { Е } , { Е , Д , Ф } и г являются инвариантными подгруппами.

Я отметил красным цветом ту часть, которую не понимаю. Частично я я я . было обнаружено, что классы сопряженности { Е } , { А , Б , С } , { Д , Ф } . Итак (из цитаты выше - последняя часть решения в я я . ), { Е , Д , Ф } «содержит полные классы сопряжения», но что это означает на простом английском языке (где это возможно)?

Это означает, что подгруппа является объединением множества классов сопряженности г . Или, другими словами, если он содержит один элемент класса сопряженности, то он содержит и все элементы этого класса.
@DerekHolt Спасибо за ваш ответ, однако я все еще очень запутался, но { Е , Д , Ф } не содержит элементов { А , Б , С } . Так как это { Е , Д , Ф } «полный» класс сопряженности? Извините, что звучит глупо, но очень сложно научиться этому.
Учитывать г "=" { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } группа целых чисел mod 6 . Тогда как абелева группа для любого г и час , г час г − 1 "=" час . Следовательно, класс сопряженности целого числа час является { час } . Следует, что { 3 , 4 , 5 } содержит полный класс сопряженности всех своих элементов, даже если нет ни одного элемента { 0 , 1 , 2 } в этом. (Это комментарий к вашему комментарию, в котором говорится { Е , Д , Ф } не содержит элементов { А , Б , С } .)
Слово «полный» подчеркивает, что если используется какая-либо часть класса сопряженности, то используется весь класс сопряженности. Хорошо, если класс сопряженности вообще не используется, но плохо, если класс сопряженности используется частично. Таким образом, {E}, {D,F}, {E,D,F}, {E,A,B,C} и {A,B,C,D,F} состоят из классов полной сопряженности, а {D,A} не является (у него есть D, но нет F, и у него есть A, но нет B,C).

Ответы (1)

Чтобы увидеть это { Е , Д , Ф } является объединением целых классов сопряженности, вот (утомительная) работа, которую вы должны выполнить:

  1. Класс сопряженности Е , а именно множество { А Е А − 1 , Б Е Б − 1 , С Е С − 1 , Д Е Д − 1 , Е Е Е − 1 , Ф Е Ф − 1 } , равно { Е } (проверьте утомительным вычислением или, что проще, заметив, что Е является единичным элементом группы).
  2. Класс сопряженности Д , а именно множество { А Д А − 1 , Б Д Б − 1 , С Д С − 1 , Д Д Д − 1 , Е Д Е − 1 , Ф Д Ф − 1 } , равно { Д , Ф } (проверить утомительным вычислением).
  3. Класс сопряженности Ф также равно { Д , Ф } (проверьте с помощью теоремы, что классы сопряженности любой группы являются разбиением этой группы, и тот факт, что { Д , Ф } — класс сопряженности, который вы уже проверили и который содержит Ф ).

Таким образом, множество { Е , Д , Ф } является объединением двух целых классов сопряженности, а именно

{ Е , Д , Ф } "=" { Е } ∪ { Д , Ф }
Заметьте, есть еще целый класс сопряженности, которого нет в этом объединении. Итак, чтобы сказать, что подмножество Икс группы есть «объединение целых классов сопряженности», то есть, точнее, «существует подмножество множества всех классов сопряженности, объединение которых Икс ".

Или, говоря по-другому, " Икс является объединением классов сопряженности элементов Икс ". Обратите внимание: ни один элемент класса сопряженности { А , Б , С } содержится в наборе Икс "=" { Е , Д , Ф } . Но это не противоречит смыслу Икс являющийся объединением целых классов сопряженности: Икс не является объединением всех классов сопряженности, а является объединением некоторых классов сопряженности.

Что означает «содержит полные классы сопряжения» (пожалуйста, на простом английском)?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v