Что значит для группы быть свободным в различных группах

Я читаю статью Баумслага «Конечно порожденные циклические расширения свободных групп аппроксимируемо конечны» . Одна из гипотез основного утверждения статьи состоит в том, что для группы г и Н < г подгруппа, Н свободен в нильпотентном многообразии В простого показателя п .

Я понимаю, что разнообразие групп, грубо говоря, это совокупность В групп, заданных некоторым уравнением. Она нильпотентна, если каждая группа из В нильпотентна и имеет показатель степени п если каждая группа в В имеет показатель степени п .

Чего я не понимаю, так это того, что Баумслаг имеет в виду под тем, что Н бесплатно в В ? Источник моего замешательства заключается в том, что будет дальше, главным образом в том, что группа Н считается свободной группой. Конечно, если Н свободна, то она никогда не может содержаться в множестве экспонент п ?

У меня нет бумаги под рукой, но я догадываюсь, что, когда он говорит, что Н свободна, он означает, что она свободна в рассматриваемом многообразии.
Да, теперь я вижу, что основное предложение доказывает остаточную конечность для (свободных в нильпотентном многообразии простых чисел) циклических групп, а затем поднимает это на свободные циклические группы.

Ответы (1)

Группа Н бесплатно в ассортименте В тогда и только тогда, когда существует подмножество Икс из Н так что:

  1. Н е В ; и
  2. ⟨ Икс ⟩ "=" Н ; и
  3. Для каждого г е В и каждое теоретико-множественное отображение ф : Икс → г , существует единственный гомоморфизм групп ф : Н → г такой, что ф | Икс "=" ф .

Другими словами, Н в В и удовлетворяет универсальному свойству «свободной группы на Икс ", но относительно только групп в В . Иногда мы говорим, что Н является «относительно бесплатным» в В (а обычные свободные группы называются «абсолютно свободными»).

Нетрудно показать, что Н бесплатно в В тогда и только тогда, когда существует абсолютно свободная группа Ф такой, что Н ≅ Ф / В ( Ф ) , где В ( Ф ) является глагольной подгруппой Ф соответствующий В : наименьшая нормальная подгруппа Ф такое, что частное лежит в В .

Каноническим местом для изучения многообразий является книга Ханны Нойманн « Многообразия групп» , Springer-Verlag, 1967, MR 0215899 .

Что значит для группы быть свободным в различных группах
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v