Что означает «сохранение числа частиц» в физике конденсированного состояния?

Сохранение числа частиц есть симметрия системы. Как сказал Акшай Кумар в своем ответе , когда оператор числа частиц коммутирует с гамильтонианом, он сохраняется. Это просто означает, что число частиц сохраняется. Частицы — это все, что обсуждается в конденсированных средах (точнее, квазичастицы ), подобно электронам и дыркам (конечно, самые известные, но мы должны говорить о квазичастицах с положительной и отрицательной энергией возбуждения относительно энергии Ферми , если мы не поленились: я думаю, длины их точных названий достаточно, чтобы сохранить электрон и дыркуВ следующих :-). Таким образом, должно быть хорошо знать, могут ли некоторые (квази-)частицы появляться из ниоткуда или нет . К счастью, когда число частиц сохраняется, они не появляются из ниоткуда , их можно только трансмутировать из другой (квази-)частицы. Вот что происходит со сверхпроводимостью: два электрона исчезают и появляется одна куперовская пара (говоря очень образно).

Теперь о сверхпроводимости проще сказать, что вы сохраните число частиц, если ваш гамильтониан инвариантен по отношению к преобразованию

где$c$s — фермионные операторы, а$\theta$угол. Фактически,$\theta$лучше определить как генератор вращения U(1) . В частности, если ваш гамильтониан (лучше сказать лагранжиан) инвариантен с операцией фазового сдвига, определенной выше, вы можете связать с ним ток Нётер . Для вращательной симметрии U(1) сохраняющийся ток будет током частиц. В частности, для задач, не зависящих от времени (для упрощения), количество частиц будет сохраняться, если ваш гамильтониан инвариантен при определенном выше преобразовании.

Гамильтониан БКШ , описывающий обычную сверхпроводимость, выглядит следующим образом ( для простоты я отбрасываю член с одним телом и спин: они ничего не меняют в выводах, к которым мы хотим прийти):

такой, что поворот U(1) не меняет его, так как число$c$чем количество$c^{\dagger}$операторы.

Ниже критической температуры появляется новая сверхпроводящая фаза, характеризующаяся неисчезающим параметром порядка ( т.е. числом куперовских пар, еще образно говоря - лучше сказать параметром сверхпроводящей щели )

который преобразуется при фазовом сдвиге U(1) как

так как теперь их двое$c$операторы, не компенсируемые некоторыми$c^{\dagger}$. Итак, параметр порядка$\Delta$не является инвариантным относительно симметрии фазового превращения U(1). Говорят, что основное состояние сверхпроводимости не сохраняет число частиц .

Обратите внимание, что:

• Утверждение, что число частиц не сохраняется, является злоупотреблением языком, поскольку общее число электронов одинаково как в нормальной, так и в сверхпроводящей фазах. Конденсированная (сверхпроводящая) фаза просто не проверяет инвариантность относительно вращения U(1). Но это правда, что некоторые электроны в некотором смысле исчезают. Как я уже сказал во введении: они трансмутируются в куперовские пары (опять же, это образный способ выражения).

• Такой механизм, когда гамильтониан подтверждает симметрию, которой нет в его основном состоянии, называется спонтанным нарушением симметрии . Сверхпроводимость — лишь один из примеров такого механизма.

• $\Delta$остается инвариантным при ограниченном вращении$c\rightarrow e^{\mathbf{i}n\pi}c$с$n\in\mathbb{Z}$. Так как таких элементов вращения всего два$e^{\mathbf{i}n\pi}=\pm 1$, говорят, что U(1) разбит на$\mathbb{Z}_{2}$(причудливое обозначение для группы всего из двух элементов).

Post-Scriptum: Пожалуйста, скажите мне, если вам нужны дополнительные пояснения по терминологии. Я не знаю, с чего вы начинаете, и я думаю, что мой ответ немного резок для молодых студентов.

Подумайте о том, чтобы записать уравнение для числового оператора N на картинке Гейзенберга. Теперь, если N коммутирует с гамильтонианом H, то производная N по времени равна 0, т. е. N сохраняется.