Струна Дирака на (периодическом) компакте

В компактном ориентируемом пространстве общий магнитный заряд (или электрическое изменение в этом отношении) должен быть равен нулю по закону Гаусса. Все силовые линии магнитного поля, выходящие из монополей, должны куда-то идти, поэтому они собирают равное количество антимонополей. Доказательство утверждения простое: вы берете маленькую сферу без магнитного заряда внутри и считаете ее границей того, что вы локально назвали бы внешней областью. Суммарный заряд снаружи тоже должен быть равен нулю. Когда суммарный магнитный заряд равен нулю, струну Дирака можно последовательно выбрать так, чтобы она заканчивалась на магнитном заряде.

Когда пространство неориентируемо, аргумент применяется к его двойному покрытию, так что струна Дирака может проходить между монополями и их дополнительным образом. Само неориентируемое пространство должно быть покрыто несколькими перекрывающимися картами, а в случае неориентируемого пространства можно сделать так, чтобы струна Дирака находилась на одной карте, а не на другой.

Чтобы увидеть, что случаи, о которых я говорю, не бессодержательны, рассмотрим бутылку Клейна, пересекающую круг (периодический ящик в x, y, z единичного размера, с координатой x, идентифицированной в противоположном смысле через период). Двойное покрытие — это тор. Затем поместите один магнитный заряд в центр бутылки Клейна. Магнитное поле меняет знак при отражении координаты, перпендикулярной полю, и сохраняет свой знак при отражении координаты, параллельной направлению поля (это странное поведение становится очевидным, если рассматривать магнитное поле как 2-индексный антисимметричный тензор ). Таким образом, магнитное поле монополя в бутылке Клейна, пересекающей окружность, постоянно — оно такое же, как магнитное поле монополя и антимонополя в двойном покрытии тора.

В этой ситуации струна Дирака будет идти от монополя к антимонополю в торе, но в описании бутылки Клейна она должна описываться координатным пятном за координатным пятном.