Этот вопрос исходит из моих попыток понять, что представляет собой истинностное значение материальной импликации с ложным антецедентом. Я встречал несколько оправданий этой условности, обычно на примерах, но каждое из них, по-видимому, подразумевает, что истинностное значение материальной импликации представляет нечто иное. Ниже я приведу три примера, иллюстрирующих мои рассуждения.
(1) «Если я буду здоров, я приду на занятия». Мы можем символизировать это, p -> q. Вопрос в том, когда это утверждение ложно? Когда я нарушу свое обещание?»
Приведены два примера этого сценария, когда антецедент ложен.
Пример 1: Я не здоров, но я все равно пришел на урок. Я не нарушил своего обещания; условное истинно.
Пример 2: Я нездоров и не пришел на занятия. Я не нарушил своего обещания; условное истинно.
Анализ: в этом примере истинностное значение материального импликации, по-видимому, показывает, искажает ли событие данное импликацию или «обещание» в данном случае. Если сценарий показывает, что обещание было нарушено, существенный вывод помечается как ложный. В противном случае оно помечается как истинное. Обратите внимание, что истинностное значение здесь не представляет, действительно ли p подразумевает q в каком-то смысле, а только если импликация была фальсифицирована или нет.
(2) «Если 3 — полный квадрат, то 3 не простое число».
Анализ: Этот пример был дан как способ понять, имеет ли смысл истинный материальный смысл, когда антецедент ложен. Я должен отметить, что не было дано никаких явных рассуждений, чтобы показать, почему это переводится в истинную материальную импликацию, поэтому я буду предполагать единственную интерпретацию этого, которую я считаю разумной для этой цели. В этом примере истинностное значение импликации, по-видимому, представляет, констатирует ли пропозициональная функция истинный факт или ложный факт для всех возможных случаев. Я вижу это как анализ того, является ли предложение «Если x является полным квадратом, то x не является простым». истинно или ложно. Это снова означает, что истинностное значение материальной импликации не показывает, действительно ли p подразумевает q, и не показывает, было ли данное высказывание фальсифицировано, как это было в последнем примере.
(3) Бессодержательный аргумент. «Еще один способ показать, что парадоксы приемлемы для некоторых из наших интуитивных предположений о последствиях, — это рассмотреть такие утверждения, как «Если Конгресс примет серьезную реформу финансирования избирательных кампаний, тогда я дядя обезьяны!» голландец!" Или: "...Я Папа!" Эти выражения - яркие способы утверждения антецедента как ложного. Но обратите внимание, как мы это делаем. Мы говорим, что если этой лжи позволить остаться в силе, то следует даже абсурдность того, что я Папа Римский. И этот сарказм точно следует логике материальной импликации. Ложные антецеденты создают истинные условные выражения».
Анализ: проблема с этим аргументом заключается в том, что он апеллирует к соглашению, а не к разуму, и лежащий в основе этого принципа не является «бессодержательным» аргументом, как это сравнение хотело бы подразумевать. В повседневном языке мы приводим нелепый консеквент, чтобы продемонстрировать, насколько маловероятен антецедент, а не потому, что мы думаем, что антецедент ложен и, следовательно, что-то следует. Это рассуждение, по-видимому, подразумевает, что истинностное значение материальной импликации должно отражать, следует ли q из p. Это контрастирует с двумя предыдущими примерами.
Резюме: кажется, что каждый из трех приведенных выше примеров подразумевает, что истинностное значение материальной импликации представляет собой нечто иное. Эти различия можно увидеть ниже.
В (1) истинностное значение материальной импликации показывает, была ли импликация фальсифицирована данным сценарием.
В (2) истинностное значение материальной импликации показывает, является ли сентенциальная функция истинной для всех случаев.
В (3) истинностное значение материальной импликации показывает, следует ли q из p.
Существуют и другие аргументы и примеры, которые подразумевают дополнительные противоположные представления истинностного значения материальной импликации, но я думаю, что этих примеров будет достаточно, чтобы показать, откуда исходит мой вопрос. Мы будем очень признательны за любое понимание, которое вы можете предложить!
Я разделяю ваше беспокойство по поводу применения материального импликации. Это полезная связка в математике или других математических областях науки, но она мало что дает для понимания того, что мы подразумеваем под условными предложениями в естественных языках. Вот почему существует так много так называемых парадоксов материальной импликации, которые на самом деле вовсе не парадоксы, а просто примеры того, когда материальная импликация неадекватно объясняет обыденное употребление.
Возьмем ваши три примера...
Я бы назвал это условным обещанием, а не условным утверждением. Как таковое, оно не имеет истинностного значения. Если я здоров, я выполняю свое обещание, приходя на занятия; если нет, то условий для обещания нет - я не нарушал обещание, но кажется немного странным говорить, что я его сдержал.
Это не работает как пример материальной импликации, поскольку не позволяет отличить правдоподобные случаи от неправдоподобных. «Если 3 — совершенный квадрат, то 3 — не простое число» правдоподобно не потому, что 3 — не совершенный квадрат, а потому, что все совершенные квадраты не являются простыми. В конце концов, утверждение «Если 3 — совершенный квадрат, то 3 — трансфинитное число» вряд ли правдоподобно, но оно имеет тот же ложный антецедент.
Условные предложения Dutchman вполне могут рассматриваться как частные случаи условных предложений. У них есть риторическая цель, в которой обычно кто-то может утверждать какое-то утверждение P, а кто-то другой отвечает: «Если P, то я голландец», что означает, что они считают P абсурдным и поэтому возражают своей собственной абсурдностью.
Есть много классов падежей, в которых материальная импликация вообще не работает при объяснении английских условных предложений. Вот некоторые из них:
Условные ставки. Если я предлагаю поспорить с вами, что «если Х будет выдвинут на президентских выборах, то Х выиграет выборы», я не держу пари, что материальная импликация «Х выдвинут -> Х избран» сбудется. Если X не назначен, то ставки нет.
Условные команды. Если врач приказывает медсестре: «если больной жив завтра утром, сменить повязку», это не команда для того, чтобы сделать так, чтобы «пациент жив -> сменить повязку» — если бы это было так, медсестра могла бы подчиниться. убив пациента.
Утверждения о вероятностях. Если вы говорите, что вероятно, что «если А, то В», вы не имеете в виду, что вероятно, что А -> В, поскольку это было бы тривиально верно в том случае, если А крайне маловероятно. Под вероятностью подразумевается, что «если А, то В» обычно означает, что условная вероятность Р(В | А) высока. Если я брошу правильный шестигранный кубик, вероятность того, что «даже если выпадет 6», равна P(6 | чет), что составляет 1/3; тогда как P( даже -> 6 ) равно 2/3.
Утверждения о причинно-следственных связях. Материальная импликация — это всего лишь функция истины: она ничего не говорит о том, как соотносятся содержание антецедента и консеквента. Делая причинно-следственные заявления, мы всегда делаем существенное заявление о таких отношениях. Обычно у нас есть своего рода внутренняя модель того, как, по нашему мнению, устроен мир и что в нем верно, и мы используем ее, чтобы делать прогнозы того, что произойдет в гипотетических обстоятельствах. «Если я выпью этот яд, он убьет меня», это не правдоподобно, потому что я не собираюсь его пить, а потому, что моя модель того, как работает мое тело и что с ним сделает употребление яда, убедительно подсказывает мне, что смерть будет причинное следствие.
Утверждения об условных предложениях, в которых мы знаем (или, по крайней мере, верим), что антецедент ложен. Обычно называемые контрфактуальными, они не являются тривиально верными, даже если их материальное значение истинно.
Осмысление условных предложений породило огромное количество литературы, и до сих пор нет общепринятого объяснения их значения.
Как вы можете видеть в посте Каково происхождение таблицы истинности в логике , истинностно-функциональное определение материальной импликации (или кондиционала ) было кодифицировано древнегреческими логиками -стоиками с так называемым филонианским кондиционалом .
В наше время он был «вновь открыт» Готтлобом Фреге в его Begriffsschrift (1879 г.).
Это соответствует пункту (1) вашего анализа:
условное предложение с истинным антецедентом и ложным следствием является ложным ; во всех остальных случаях верно .
Ваш случай (2) правильно проанализирован как:
∀x (Perf_Sq(x) → ¬Prime(x)) ;
это обобщение условного предложения (ранее называвшегося «формальным импликацией»; см. пост: существует ли «нематериальное» импликация? ).
Для (3) вы должны учитывать, что отношение логического следствия (или следствия ) определяет:
Хороший аргумент тот, выводы которого следуют из его предпосылок; его выводы являются следствием его предпосылок.
Это отношение, которое имеет место между набором предложений Γ ( посылки ) и предложением A ( заключением ), символизируемым:
Г ⊨ А
и «открытый Аристотелем с его понятием дедукции ( sullogismos ):
Дедукция — это речь ( логос ), в которой из предполагаемых вещей по необходимости возникает нечто отличное от этих предполагаемых, поскольку они таковы. ( Предварительная аналитика I.2, 24b18–20)
Каждая из «предполагаемых вещей» есть посылка рассуждения, а какие «следствия необходимости» есть заключение .
Отношение между логическим следствием и условным является:
А ⊨ B тогда и только тогда, когда ⊨ A → B ,
но мы должны учитывать, что это не одно и то же: например, определение логического следствия не меняется и тогда, когда в языке нет условной ( → ) связки.
Материальная импликация, логические эквивалентности, доказательство противопоставлением:
Я показываю, что противопоставление материальной импликации (X), называемое противопоставлением этой импликации (X*), логически эквивалентно этой материальной импликации (X): X ≡ X*.
Учитывая материальное условное P -> Q, P называется «антецедентом», а Q в этой форме называется консеквентом (прямая импликация от P к Q).
Если антецедент (P) истинен, то материальная импликация (->) верна, только если консеквент (Q) также верен. То есть истинное антецедент/предпосылка/условие (P) может подразумевать только истинное/следствие/заключение/следствие (Q).
Если антецедент (P) истинен, а консеквент (Q) ложен, то импликация не выполняется (истинно). То есть истинный антецедент не может подразумевать ложного следствия: истина не может подразумевать ложность. Это единственный вариант, для которого материальная импликация не выполняется, т. е. оператор/связка (->) выводит ложь тогда и только тогда, когда антецедент (P) истинен, а консеквент (Q) ложен.
Если антецедент (P) ложен, то P материально подразумевает Q, независимо от того, истинно ли Q или ложно. Из лжи следует что угодно. То есть ложный антецедент (P) подразумевает консеквент (Q) как в случае, когда Q ложно, так и в случае, когда Q истинно. Для получения дополнительной информации, пожалуйста, посмотрите «принцип взрыва», который гласит на латыни: «Ex falso sequitur quodlibet» = «Из лжи следует что угодно».
Пример 1 (с ложным следствием): «Если 2 + 2 = 5, то я бог» и P, и Q ложны, но импликация верна (истинна).
Пример 2 (с истинным следствием): «Если Юлий Цезарь вторгнется в Северную Америку, я немного говорю по-латыни» также верен. (Я немного говорю на латыни).
Пример 3: «Если ты напишешь отличный пост, я дам тебе 10 долларов». Это условие представляет собой обещание. Давайте посмотрим, для каких комбинаций значений истинности P и Q обещание (импликация) выполняется (истинно).
Пусть: P := Ты пишешь отличный пост, и
Пусть: Q := Я даю вам 10 долларов.
Предположим, случай 1: «Вы пишете отличный пост, и я даю вам 10 долларов». Сохраняется ли смысл или я нарушил свое обещание? Я выполнил свое обещание в ответ на ваш замечательный пост. Импликация верна (верно).
Предположим, случай 2: «Вы пишете отличный пост, но я не даю вам 10 долларов». Сохраняется ли смысл или я нарушил свое обещание? На самом деле я нарушил свое обещание, потому что я не выполнил консеквента условного, данного истинного антецедента. Следовательно, для этой опции импликация не выполняется (истина), т. е. импликация выдает истинностное значение false.
Предположим, что имеет место случай 3: «Вы не написали отличный пост, и я даю вам 10 долларов». Я нарушил свое обещание? Мое обещание было основано на том, что вы напишете отличный пост, и в нем ничего не говорится о том, что должно произойти, если антецедент был ложным. Мое обещание (импликация) просто указывает, что должно было бы произойти, если бы антецедент был правдой. Если вы не напишете хороший пост, а я тем не менее дам вам 10 долларов, то, строго говоря, я не нарушил своего обещания. Следовательно, импликация верна (истинна) с ложным антецедентом (P) и истинным следствием (Q).
Предположим, что случай 4 имеет место: «Вы не пишете отличный пост, и я не дам вам 10 долларов». Здесь, даже несмотря на то, что и антецедент (P), и консеквент (Q) оба ложны, импликация, тем не менее, верна (истинна). Ложь может заключать в себе ложь, потому что из лжи следует что угодно.
P -> Q означает «P материально подразумевает Q», что формулируется как следующее материальное условное утверждение (если-то): «Если P, то Q». Материальное условное P -> Q подразумевает, что P является достаточным условием для Q.
Учитывая материальное условное утверждение (если-тогда) (P -> Q), оператор/связка (->) называется материальной импликацией, которая устанавливает материальное условное выражение «Если P (имеет место), то Q (следует) ", что эквивалентно формулировке "Q, если P", что, в свою очередь, эквивалентно формулировке "P, только если Q", из чего следует, что P является достаточным условием для Q, которое представляется следующим образом: P => Q.
Более того, достаточность P для Q логически эквивалентна необходимости Q для P: [P => Q] <= логически эквивалентно => [Q <= P].
Рассмотрим следующие четыре варианта:
В дальнейшем пусть символ (≡) обозначает логическую эквивалентность, а (≡|≡) обозначает логическую неэквивалентность.
Рассмотрим исходное условное предложение (P -> Q) с (прямой) материальной импликацией (->), соединяющее P с Q, так что P установлено как достаточное условие для Q.
Назовем P -> Q «исходным» материальным условным выражением:
Обратите внимание, что:
Обратное (A3) может быть получено противопоставлением обратного (A2): изменением направления импликации в (A2) и отрицанием P и Q. Обратите внимание, что так же, как противопоставление оригинала дает противопоставление ( оригинала), где противопоставление логически эквивалентно оригиналу, так и противопоставление обратного дает обратное (исходного), которое логически эквивалентно обратному. Следовательно, противопоставление условного предложения (C) действительно дает другое условное предложение (C*), которое логически эквивалентно условному предложению (C): C ≡ C*.
Значение истинности материального условного предложения P -> Q представляет собой утверждение, что Q не менее истинно, чем P. Учитывая посылки P и истинное материальное условное предложение P -> Q, вывод Q является дедуктивно верным, то есть он будет не вводить новую ошибку.
Мауро АЛЛЕГРАНСА
пользователь6559
P≤Qтолько еслиQверно при всех обстоятельствах, которыеPвыполняются, и, возможно, больше). Импликация — это просто пропозициональная форма упорядочения. Это самое слабое (самое большое) предложениеXсо свойством, чтоX∧P≤Q. Я слишком устал, чтобы писать полный ответ в этом духе.Дэн Кристенсен