Большинство логических систем будут иметь две различные формы следования: одно - системное следствие (логическое следствие), а другое - следствие, основанное на доказательствах (выводимость). В первом случае вывод следует из демонстрации того, как во всех случаях сохраняется указанное значение. В последнем набор правил используется для доказательства того, что следствие имеет место.
Полнота — это шаг, который позволяет нам заявить, что вывод, основанный на системе, подразумевает вывод, основанный на доказательствах; 𝛤⊨П ⇒ 𝛤⊢П.
Считаются ли системы, в которых отсутствует это правило, неисправными? Есть ли философы, считающие полноту или отсутствие полноты достоинством системы?
Считаются ли системы, в которых отсутствует это правило, неисправными?
Не обязательно. Это зависит от того, что вы считаете наиболее важными аспектами системы.
Есть ли философы, считающие полноту или отсутствие полноты достоинством системы?
Да. Некоторые философы отдают почетное место дедуктивной силе. Здесь я имею в виду кого-то, возможно, из традиции думметтианского логического вывода. По их мнению, логика нужна для формализации аргументов (в первом порядке). Учитывая эту цель, семантическая неполнота нежелательна, потому что это означает, что некоторые следствия не могут быть захвачены вашей системой доказательства. Эти философы сочтут провал семантической полноты проблематичным (как в случае с логикой второго порядка, как указывает Мауро), потому что их проект требует тесной связи между логическим следствием и дедуктивной достоверностью.
Однако другие философы отдают почетное место выразительной силе. Примером здесь могут служить математические структуралисты. С точки зрения этих философов важно то, что мы фиксируем структуры, скажем, натуральных чисел. Поскольку вы можете сделать это только во втором порядке, вы должны отказаться от семантической полноты, чтобы сделать это. Эти философы не будут считать логику второго порядка «неудачной», даже если она семантически неполна, потому что она делает именно то, что они хотят: точно характеризует структуры.
Технические термины: выводимость ( ⊢ ) по сравнению с логическим следствием ( ⊨ ).
Полнота системы доказательств — очень приятное свойство: она гарантирует, что система доказательств полностью отражает наше «естественное» понимание основного отношения «следовать из».
Конечно, неполнота не является "добродетелем", но есть интересные логики, которые не полны.
См. Логика второго порядка: дедуктивные системы для логики второго порядка не могут быть полными для стандартной семантики .
БытиеНичто
возможныйМир
возможныйМир