Каковы в настоящее время основные нерешенные проблемы логики?

Следует иметь в виду, что значение слова «логика» изменилось за последнее столетие и теперь больше ограничивается формальной логикой, хотя она шире, чем дедуктивная или математическая логика в узком смысле. Также включен интерфейс между формальным и неформальным, формализация, формальная семантика. Но это не то, что Кант подразумевал под «трансцендентальной логикой», Гегель под «Наукой логики» или Гуссерль под «Логическими исследованиями», этот смысл логики ближе к тому, что сейчас называется эпистемологией.

Что касается нерешенных проблем, я назову три основные: семантические парадоксы, неопределенные предикаты и построение формальной семантики естественных языков. Первые два имеют древние корни, третий является более поздним проектом, относящимся к лингвистическому рубежу середины 20 века, все три являются предметом активных исследований.

Древнейший семантический парадокс — это Лжец, «Эпименид Критянин говорит, что все критяне — лжецы», «наименьшее число, которое нельзя описать менее чем 12 словами», парадокс Берри — еще один пример. Семантические парадоксы обычно играют на самореференции и являются причиной трудностей с формальными языками, в рамках которых можно говорить об истинности собственных предложений, что приводит к непоследовательности. Тем не менее, наш естественный язык, по-видимому, принадлежит к этому типу. Стандартные подходы вводят искусственные иерархии языков, такие как классическая иерархия Тарского или иерархия Крипке ., что включает в себя пробелы в истине. Однако даже версия Крипке не может иметь дело с Усиленным Лжецом, а разговоры ни об истинных, ни о ложных предложениях ведутся на внешнем языке, как выразился Крипке, « призрак иерархии Тарских все еще с нами ». Другой подход включает в себя паранепротиворечивую логику, которая допускает некоторую степень несогласованности, но многие считают, что их проглатывание является слишком высокой ценой.

Идея нечетких предикатов восходит к парадоксу соритов (приписываемому тому же Эвбулиду из Милета).как Лжец): одно пшеничное зерно не образует кучу, добавление зерна не превращает некучу в кучу, следовательно, куч не бывает. Поначалу кажется, что разрешить этот парадокс легко, допустив пограничные случаи, но даже если мы допустим серую зону между кучами и не кучами, полукучами, мы столкнемся с той же проблемой с не кучами и полукучами. Представляется необходимым отказаться либо от modus ponens, либо от индукции, и то и другое требует больших затрат. Были задействованы пробелы в истине и паранепротиворечивость, а также явно нечеткая логика. Проблема с нечеткой логикой заключается в том, что между нечеткими значениями истинности и традиционными нет очевидного моста, на самом деле его построение — это просто замаскированные сориты. Своеобразный подход — эпистемизм, есть резкая граница между кучами и не кучами, говорит он, но мы не знаем (и никогда не узнаем), что это такое.

В некотором смысле построение семантики естественных языков представляет собой всеобъемлющую мегапроблему, из которой две вышеупомянутые являются небольшими частями. Его кристаллизация, вероятно, связана с усилиями Даммета в 1970-х годах. Идея состоит в том, чтобы построить «идеальный язык» с хорошими формальными свойствами, который максимально точно соответствует нашим лингвистическим интуициям. Подробный недавний обзор и радикальный подход, основанный на классическом исчислении предикатов, см. в книге Бен-Ями «Логика и естественный язык» .

Другие аспекты включают в себя работу с условными предложениями, классическое материальное условное предложение явно не является интуитивным, и другие формальные кандидаты, например сильные или релевантные условные обозначения, также имеют свои проблемы. Спор между дескриптивистом Фреге и референциальной семантикой имён Крипке до сих пор заходил в тупик, оба охватывают интуитивные аспекты языка, но не поддаются четкому синтезу. Модальная логика и ее интерпретации, как формальные, так и неформальные, также остаются спорными, несмотря на усилия Крипке. Деонтическая логика, логика императивов, предлагает множество непреодолимых трудностей, см . обзор Хансена «Императивы и деонтическая логика ».