Мне любопытно, почему существуют только два логических квантификатора и для всех . Интуиция и человеческий язык поддерживают идею о том, что эти кванторы имеют смысл, но в остальном кажется произвольным (по крайней мере, с точки зрения символической, формальной логики), что существуют только эти два.
На самом деле имеется только один квантор, потому что «для всех x: P(x)» можно выразить как «не существует x: не P(x)». (Или, в качестве альтернативы, мы могли бы аналогичным образом определить существует в терминах для всех .)
На самом деле я хочу знать, существуют ли какие-либо другие «атомарные» логические кванторы, т. е. кванторы, которые нельзя просто построить, скажем, из квантора существования и других базовых логических символов, таких как «не», «и » , « или » . В частности, существует уникальный не в счет, так как он может быть построен из более простых символов.
Короче говоря, может ли быть более одного «атомарного» логического квантификатора, и если нет, то почему?
Да — ключевой термин — « обобщенные кванторы ». Они изучаются в контексте как естественного языка, так и математической логики. Я сосредоточусь на логической стороне, о которой я знаю больше.
Имя, которое всплывает в обоих контекстах, — Джон Барвайз, и эта статья Ваанаанена описывает большую часть работы Барвайза над обобщенными кванторами; эта статья Барвайза о естественном языке может представлять особый интерес. И статья SEP тоже довольно хороша.
Начнем с того, что стандартный результат состоит в том, что каждый из следующих кванторов не определяется из обычных:
Существует бесконечно много вещей, удовлетворяющих p .
Существует ровно k-много вещей, удовлетворяющих p (для некоторого фиксированного бесконечного кардинального числа k).
Существует по крайней мере k-много вещей, удовлетворяющих p (для некоторого фиксированного бесконечного кардинального числа k).
По крайней мере, столько x удовлетворяет p , сколько удовлетворяет ~p .
И множество других.
(В основном, применяйте компактность и Ловенгейма-Скулема по мере необходимости.)
Существуют также квантификаторы, применимые к ситуациям более богатым, чем просто структуры первого порядка: например, если мы рассматриваем структуру, оснащенную топологией, у нас есть квантификатор «множество вещей, удовлетворяющих p, плотное» и с мерой в У нас есть квантор «Набор вещей, удовлетворяющих p , имеет положительную меру.
Кроме того, существуют обобщенные кванторы, которые синтаксически более сложны, чем обычные, например квантор «то же число» (или квантор Хартига ) : для формул p , q мы пишем Ixy( p (x), q (y)) для «{x: p (x)} имеет ту же мощность, что и {y: q (y)}». Даже игнорируя семантику $I$, он просто выглядит по-другому (привязывается к двум формулам вместо одной).
Изучение логических систем с использованием обобщенных кванторов является частью теории абстрактных моделей , которая в более общем плане изучает логику за пределами логики первого порядка; стандартный текст на эту тему — сборник «Теоретико-модельные логики» .
Наконец, чтобы подогреть интерес к предмету (и обеспечить своего рода отрицательный результат), позвольте мне упомянуть одну теорему — теорему Линдстрема :
Не существует строго более сильной логической системы, чем логика первого порядка, обладающая как компактностью , так и нисходящими свойствами Левенгейма-Скулема .
В частности, все действительно разные обобщенные кванторы обладают некоторой фундаментальной «логической дикостью»: мы не можем добавить ни один из них к нашей логике, не изменив ее основных свойств.
(Здесь я немного расплывчат — например, что именно здесь означает «логическая система»? Точное утверждение и доказательство теоремы можно найти либо в главе 2 упомянутого выше сборника, либо в конце книги Эббингауза-Флюма-Томаса. .)
УиллГ
пользователь76284
пользователь76284