Может ли кто-нибудь объяснить простыми словами, что такое логика первого порядка?
С моей любительской точки зрения, я думаю, что логика первого порядка — это своего рода система символов и общих логических правил и операций, определенных на этом наборе символов таким образом, что логика первого порядка обладает некоторой выразительной «силой» ( то есть некоторые утверждения могут быть представлены в логике первого порядка и могут быть выведены некоторые теоремы о логике первого порядка).
Однако, что касается теорем, то здесь я застрял, потому что, в принципе, я не знаю, что именно можно доказать в логике первого порядка, включая теоремы о высказываниях в логике первого порядка и о составных высказываниях, а также теоремы о самой логике первого порядка.
Итак, может ли кто-нибудь здесь дать максимально простое объяснение и описание логики первого порядка? Желательно как можно короче.
Кроме того, существует ли только одна логика первого порядка или существует много логик первого порядка, каждая из которых отличается от всех остальных аксиомами, которые используются для построения такой теории?
FOL — это естественная логическая среда для формализации математических теорий.
Основной характеристикой исчисления предикатов является использование кванторов : логика первого порядка — это исчисление предикатов, в котором количественная оценка ограничена отдельными переменными (переменными, ранжируемыми по «объектам»), а количественная оценка по предикатным переменным (т. е. переменными, ранжируемыми по «свойствам») не является допустимый.
Вместо этого исчисление высказываний является лишь «игрушкой»: оно основано на очень упрощенной модели языка, которая бесполезна для разработки интересных теорий, но может быть эффективно использована для изучения основных свойств формальной системы: непротиворечивости, полноты , и т. д.
С ФОЛ у нас есть «логический двигатель», т. е. синтаксис языка с аксиомами и правилами, и мы обычно изучаем его аналогично изучению исчисления высказываний, чтобы понять основные металогические свойства.
Когда мы изучаем «чистый» ВОЛС, мы определяем отношение выводимости ( ⊢ ), где:
⊢ φ означает: «формула φ выводится в исчислении», а Γ ⊢ φ означает: «формула φ выводится в исчислении из множества Γ предположений».
С его помощью мы доказываем фундаментальную теорему о правильности и полноте :
Γ ⊢ φ тогда и только тогда , когда Γ ⊨ φ , где символ ⊨ означает семантическое следствие .
Помимо изучения «чистой» логики предикатов, нас интересует добавление к «логической машине» подходящих нелогических констант, таких как ∈ («in»), бинарное отношение теории множеств или + и × (« плюс» и «раз»), основные арифметические операции с подходящими аксиомами , управляющими их поведением.
Таким образом, в соответствии с введенными конкретными математическими символами и аксиомами мы имеем различные математические теории; когда совокупность аксиом представляет собой версию аксиом Пеано первого порядка , мы имеем ПА , т.е. теорию арифметики первого порядка .
То же самое для ZF , т.е. теории множеств Цермело-Френкеля .
К сожалению, не все интересные математические свойства можно выразить с помощью ЛОЛ; см. Логика второго и высшего порядка .
Логика предикатов первого порядка основана на логике высказываний (которую также называют логикой предикатов 0-го порядка).
Логические операторы пропозициональной (предикат 0-го порядка) логики:
Логика первого порядка (FOL) включает в себя все операторы логики высказываний и добавляет к ним следующие 3 оператора:
Идентичность (=) помогает нам символизировать
∃xG(x): существует некоторый x такой, что он является G(), где G(x): = « x — бог». = "Некоторый бог существует"
∀xG(x): каждый x таков, что он является G(). = «Каждый бог» / «Все боги»
В итоге:
где x - предикатная переменная, может относиться к чему угодно в области дискурса (область: множество всех людей).
где G() — предикат, где G(x) — пропозициональная переменная.
Конифолд
Мауро АЛЛЕГРАНСА