Что такое дуальное/кокасательное пространство?

Я хотел бы добавить кое-что о двойных пространствах в связи с квантовой механикой, поскольку вы упомянули «лифчики». Вы можете спросить, зачем нам нужно рассматривать двойные пространства в квантовой механике и как это связано с бюстгальтерами.

Каждое чистое (в отличие от смешанного ) состояние квантовой системы может быть представлено элементом гильбертова пространства$\mathcal H$. В физике мы обычно обозначаем такие элементы символом, подобным$|\psi\rangle$, "кет". Каждое гильбертово пространство по определению снабжено скалярным произведением. Воспользуемся обозначением$(\cdot, \cdot)$для этого скалярного произведения, так что скалярное произведение двух кетов$|\psi\rangle$а также$|\phi\rangle$обозначается

$$(|\psi\rangle, |\phi\rangle)$$ и является некоторым комплексным числом. Проблема в том, что это выражение кажется нам, физикам, громоздким, и мы могли бы также каким-то образом сократить его, поэтому вместо этого мы определяем «bra-ket» следующим образом: $$\langle \psi|\phi\rangle = (|\psi\rangle, |\phi\rangle).$$ Гораздо чище, не так ли? Хорошо, но как это относится к двойным пространствам? Ну предположим, что дан любой кет$|\psi\rangle$, мы должны были определить функцию$B_{|\psi\rangle}$на$\mathcal H$по $$B_{|\psi\rangle}(|\phi\rangle) = \langle \psi|\phi\rangle$$ Обратите внимание, что эта функция принимает элемент гильбертова пространства и выводит комплексное число; стоимость внутреннего продукта. Кроме того, обратите внимание, что по линейности скалярного произведения во втором слоте для всех$|\psi\rangle, |\phi_1\rangle, |\phi_2\rangle\in\mathcal H$, и для всех$a_1,a_2\in\mathbb C$у нас есть $$\begin{align} B_{|\psi\rangle}(a_1|\phi_1\rangle + a_2|\phi_2\rangle) &= \Big(|\psi\rangle,a_1|\phi_1\rangle + a_2|\phi_2\rangle\Big) \\ &= a_1\langle\psi|\phi_1\rangle + a_2\langle\psi|\phi_2\rangle \\ &= a_1 B_{|\psi\rangle}(|\phi_1\rangle) +a_2 B_{|\psi\rangle}(|\phi_2\rangle) \end{align}$$ Другими словами, для каждого$|\psi\rangle\in\mathcal H$, функция$B_{|\psi\rangle}$построенный таким образом, является двойственным вектором.

Чтобы снова сократить обозначения, мы, физики, просто делаем определение

$$B_{|\psi\rangle} = \langle\psi|.$$ и мы называем этот двойственный вектор, соответствующий$|\psi\rangle$бюстгальтер _ _$|\psi\rangle$с момента определения$B_{|\psi\rangle}$позволяет нам писать $$\langle{\psi|}(|\phi\rangle) = \langle \psi|\phi\rangle$$ в этом случае мы видим, что действие на кет с бюстгальтером дает «бра-кет» (где «бра-кет» - это просто другой способ сказать «внутренний продукт»).

Итак, мы видим, что бюстгальтеры на самом деле являются двойственными векторами! Зачем это все нужно? Ну, это не на самом деле. Мы могли бы просто вообще отказаться от бюстгальтеров и бюстгальтеров, как это делают математики, и без проблем написать все выражения в квантовой механике, которые нас интересуют. На самом деле, в текстах Вайнберга по квантовой механике и квантовой теории поля не используются скобочные обозначения, и, как вы сами видите, ничего не ломается.

Тем не менее, большинство физиков, в том числе и я, считают, что скобочная нотация интуитивно понятна и полезна с точки зрения вычислений, и из вышеприведенного обсуждения мы можем видеть, что естественный способ формализовать нотацию — использовать термины двойственных пространств и двойственных векторов, поэтому мы представить их в этом контексте.

Как вы, наверное, знаете, двойственное пространство векторного пространства$V$пространство всех линейных функций на пространстве$V$. Это одно абстрактное математическое понятие, однако оно может дать нам очень хорошие способы представления вещей в физике.

В контексте дифференциальной геометрии двойственное пространство — это место, где живут объекты, называемые кокасательными векторами, или, короче, ковекторами. Функция, которая задает линейный функционал в каждой точке, является одной формой, и их очень естественно интегрировать по путям. Действительно, помните, что если$M$является гладким многообразием (другими словами, некоторым общим пространством, которое может быть искривлено или нет), для каждой точки мы можем думать о множестве всех векторов. В символах, если$p \in M$является точкой этого пространства,$T_pM$это множество всех векторов в$p$. Двойное пространство для$T_pM$это кокасательное пространство$T^\ast_pM$которое является векторным пространством линейных функционалов в$p$.

Если тогда$x^i$это$i$-я координата, заданная некоторой картой вокруг$p$, самая естественная основа для$T^\ast_pM$это набор дифференциалов$\left\{dx^i\right\}$. Так что у нас есть любая одноформенная$\omega(p) = \omega_i(p) dx^i$.

Имея все это в виду, давайте посмотрим, как это позволяет нам лучше описывать вещи в физике. Подумайте о силовом поле, мы обычно думаем о силах как о векторах, потому что им нужно описать направление, однако, учитывая смещение, сила дает нам работу, проделанную для перемещения некоторой частицы вдоль смещения. Что ж, смещения — это, естественно, векторы, поэтому мы можем думать о силах как о линейных функционалах от векторов, а о силовых полях — как об единых формах. Подумайте об этом, силовое поле было бы тогда$F(p)=F_i(p)dx^i$и задан вектор в$p$мы бы хотели иметь$F(p)(v)=F_i(p)v^i$поскольку$dx^i(v)=v^i$. Очевидно, что это дает работу.

Кроме того, помните, что я сказал, что естественно интегрировать единые формы по путям. Представить$\gamma : I \subset \mathbb{R} \to M$есть путь, то работа по перемещению частицы из начальной точки в конечную будет равна:

$$W=\int_\gamma F$$

Что очень естественно. Таким образом, мы можем думать о силах как об одной форме, которую данные векторы дают нам работу. Если мы думаем, например, об электрическом поле, то мы могли бы думать о нем как о единственной форме, которую данные векторы дают нам изменение электрического потенциала. Кроме того, одноформы обычно мыслится геометрически как$n-1$поверхности в$n$-пространство, значение которого при интегрировании вдоль кривой равно числу пронизанных поверхностей. Подумайте немного о том, как это связано с электрическими полями и потенциалами.

Другими словами: математически элемент двойственного пространства является линейным функционалом, а задание одной такой функции в каждой точке является однообразной формой. Это просто общее и абстрактное. Вы должны просто подумать тогда: в какие моменты какой-либо объект, используемый для описания какого-либо явления, будет хорошо описан с помощью таких абстрактных сущностей? Вы находите силы, поля и так далее. После того, как вы увидите силу этих объектов в разных местах, вы поймете, что «значение» двойного пространства действительно зависит от того, что вы пытаетесь описать.

Трудно найти ответ на этот довольно математический вопрос, не прочитав статью в Википедии , которая уже объясняет, что это такое. Если у вас есть функции с абелевой группой в качестве кодового домена (например, числа, которые можно добавить), то функциональное пространство наследует это свойство и само становится абелевой группой:

$\psi(v)=a,\ \phi(v)=b,\ \text{with}\ \ a+b=b+a,$

$(\psi+\phi)(v):=\psi(v)+\phi(v)\ \ \ \longrightarrow\ \ \ \psi+\phi=\phi+\psi.$

Двойственное пространство состоит из линейных функций из векторного пространства в числа. Область определения этих функций (векторное пространство) имеет такие вещи, как базы, и, как и в приведенном выше аргументе, двойственное пространство само становится векторным пространством. Помимо этого наброска, я не вижу большого смысла в математическом объяснении существования дуальных пространств.

Если вы описываете что-то каким-то объектом, то вы можете математически считать функции этого объекта по отношению к другим объектам. При построении физических моделей вы используете математические структуры, иногда дикие виды объектов, но поскольку эксперимент заключается в сравнении вещей друг с другом, в конце концов вам всегда нужно сопоставлять эти объекты с числами. С векторами приятно работать, линейные отношения — одни из самых простых, а длины и углы могут быть выражены через конструкцию двойственного пространства, линейные функционалы векторного пространства. Я думаю, что с этой позиции неудивительно, что они всплывают.

Есть также нелинейные карты, детерминанты или что-то в этом роде. Полная энергия электрического поля$\vec E(x)$число, связанное с вектором, но зависящее от него более сложным образом.