Я студент-физик, и мне нужно как можно скорее изучить дифференциальную геометрию, чтобы дополнить свои исследования солитонов и инстантонов. Сколько топологии мне нужно знать. Я знаю некоторые базовые понятия, прочитанные в Интернете о топологических пространствах, связности, компактности, метрике, факторпространствах Хаусдорфа. Нужно ли мне идти глубже? Кроме того, не могли бы вы порекомендовать мне несколько глав из учебников по топологии, чтобы освежить эти знания. Не могли бы вы также предложить хорошие книги по дифференциальной геометрии, которые охватывают diff. геом. нужно в физике достаточно подробно, но не слишком математически? Я слышал некоторые имена, такие как Накахара, Фецко, Спивак. Как это?
Вам необходимо знать основы применения алгебраической топологии к классификации расслоений на многообразиях. Если вы занимаетесь самообучением в Интернете, было бы полезно найти «характерные классы» и работать в обратном направлении, заполняя пробелы, которые вам нужны.
Накахара — хорошее введение в этот материал, как и Эгучи, Гилки и Хэнсон.
Я сам студент, изучаю теорию струн, и я думаю, что каждый физик должен иметь "Накахара М. Геометрия, топология и физика".
На самом деле, я стал немного математическим наркоманом после первых уроков математики и купил кучу книг (включая некоторые, упомянутые выше другими комментаторами). Все они были пустой тратой денег (не полностью), но в книге Накахара есть почти вся математика, которая мне когда-либо была нужна, в гораздо более простом формате. Например, я нахожу книгу Хэтчера красивой, но пугающей из-за того, насколько плотными/огромными являются разделы по определенным темам.
Книга Накахара короткая и лаконичная, но с лучшими обозначениями (согласуется, по крайней мере, с книгами QFT/string, которые я читал), и если вам нужны какие-либо дополнительные подробности, вы, вероятно, можете просто использовать википедию.
Почти каждый раз, когда я погружаюсь в эту книгу, я глубже проникаю в то, о чем даже не подозревал, что имею «нечеткое» понимание.
Хорошо, хватит рекламы, но я серьезно не могу рекомендовать эту книгу достаточно!
Что касается алгебраической топологии, вы начинаете с базовой топологии Армстронга или последней части топологии Манкре, а затем переходите к AT Хэтчера [http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html]. дифференциальная геометрия онлайн см. Зайцев Д. Дифференциальная геометрия: конспект лекций (БЕСПЛАТНАЯ ЗАГРУЗКА) и Hicks NJ Notes on Differential Geometry (БЕСПЛАТНАЯ ЗАГРУЗКА). некоторые другие: Исчисление Спивака на многообразиях: современный подход к классическим теоремам расширенного исчисления, Дифференциальная геометрия Феко и группы Ли для физиков, Ишам С. Дж. Современная дифференциальная геометрия для физиков, Накахара М. Геометрия, топология и физика, Нэш С. и Сен С. , Топология и геометрия для физиков и бесплатное онлайн-введение С. Ванера в дифференциальную геометрию и общую теорию относительности. Надеюсь, это будет полезно.
Моя любимая книга — Чарльз Нэш и Сиддхартха Сен «Топология и геометрия для физиков». Она написана ясно, лаконично и дает интуитивную картину по сравнению с более аксиоматической и строгой.
Для дифференциальной геометрии взгляните на Gauge field, Knots and Gravity Джона Баэза. Он очень хорошо написан, начиная с самых основ и продвигаясь вверх.
Qмеханик